Nos itens 1 a 3, mostre que
(
e
serão especificados).
e
é o contorno do quadrado de vértices
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é mostrar que a integral de
ao longo do contorno
, que é um quadrado com vértices em
e
, dá zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo complexo, como singularidades e teoremas de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as “singularidades” de
. Singularidade é basicamente onde a função não é bem comportada, tipo onde ela fica infinita ou indefinida. Olhando para
, vemos que há dois pontos problemáticos:
- Onde
, ou seja, em . - Onde o logaritmo
não está definido, que ocorre quando , ou seja, em .
Passo 3
Agora, vamos ver se essas singularidades estão dentro ou fora do contorno
. O contorno é um quadrado com vértices em
e
, então ele vai de
a
no eixo real e de
a
no eixo imaginário.
- A singularidade em
está no eixo real, mas está fora do intervalo a , então está fora do contorno. - A singularidade em
está no eixo imaginário, mas está fora do intervalo a , então também está fora do contorno.
Passo 4
Como nenhuma das singularidades está dentro do contorno
, podemos aplicar o Teorema de Cauchy que nos diz que a integral de uma função analítica ao longo de um contorno fechado é zero, desde que não haja singularidades dentro desse contorno. Como não temos singularidades dentro de
, a integral será zero.
Resposta
Portanto,
.