Nos itens 1 a 3, mostre que ( e serão especificados).
e é o contorno do quadrado de vértices .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é mostrar que a integral de ao longo do contorno , que é um quadrado com vértices em e , dá zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo complexo, como singularidades e teoremas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as “singularidades” de . Singularidade é basicamente onde a função não é bem comportada, tipo onde ela fica infinita ou indefinida. Olhando para , vemos que há dois pontos problemáticos:
  1. Onde , ou seja, em .
  2. Onde o logaritmo não está definido, que ocorre quando , ou seja, em .

Passo 3

Agora, vamos ver se essas singularidades estão dentro ou fora do contorno . O contorno é um quadrado com vértices em e , então ele vai de a no eixo real e de a no eixo imaginário.
  • A singularidade em está no eixo real, mas está fora do intervalo a , então está fora do contorno.
  • A singularidade em está no eixo imaginário, mas está fora do intervalo a , então também está fora do contorno.

Passo 4

Como nenhuma das singularidades está dentro do contorno , podemos aplicar o Teorema de Cauchy que nos diz que a integral de uma função analítica ao longo de um contorno fechado é zero, desde que não haja singularidades dentro desse contorno. Como não temos singularidades dentro de , a integral será zero.

Resposta

Portanto, .

Exercícios relacionados

Nos itens 1 a 3, mostre que ( e serão especificados).
e é o círculo .
Calcule a integral curvilínea de ao longo dos caminhos e , bem como ao longo do caminho fechado , onde é a poligonal definida pelos pontos e , orientado de 0 a , e é a poligonal definida pelos pontos 0,2 e , com mesma orientação.
Considere duas partículas e viajando segundo as trajetórias: e . As partículas colidem? Onde? Qual instante?
Seja o círculo unitário , com orientação anti-horária e uma constante real qualquer. Mostre que
A seguir, escreva a integral em termos de para deduzir a fórmula
Sugestão: Defina a função e aplique a fórmula integral de Cauchy com .