Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado.
c) ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrarmos as equações paramétricas da reta tangente à curva definida pelas equações paramétricas , , no ponto .
Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com tangentes a curvas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar:
Encontrar o valor de que corresponde ao ponto .
Calcular a derivada das funções paramétricas para obter a direção da reta tangente.
Usar o ponto e a direção para escrever as equações paramétricas da reta.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de que faz com que .
Temos:
Da terceira equação, . Sabemos que , então e, portanto, .
Passo 3
Agora que sabemos que no ponto , vamos encontrar as derivadas de , e em relação a para determinar a direção da reta tangente.
Calculamos:
Vamos avaliar essas derivadas em :
Então, o vetor direção da reta tangente é .
Passo 4
Agora, com o ponto e o vetor direção , podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente.
As equações paramétricas de uma reta são dadas por: