Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado.
c)
;
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrarmos as equações paramétricas da reta tangente à curva definida pelas equações paramétricas
, ,
no ponto
.
Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com tangentes a curvas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar:
- Encontrar o valor de
que corresponde ao ponto . - Calcular a derivada das funções paramétricas para obter a direção da reta tangente.
- Usar o ponto e a direção para escrever as equações paramétricas da reta.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de
que faz com que
.
Temos:
Da terceira equação,
. Sabemos que
, então
e, portanto,
.
Passo 3
Agora que sabemos que
no ponto
, vamos encontrar as derivadas de
,
e
em relação a
para determinar a direção da reta tangente.
Calculamos:
Vamos avaliar essas derivadas em
:
Então, o vetor direção da reta tangente é
.
Passo 4
Agora, com o ponto
e o vetor direção
, podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente.
As equações paramétricas de uma reta são dadas por:
onde
é o ponto da reta e
é o vetor direção.
Substituindo os valores:
Resposta
As equações paramétricas da reta tangente são: