Determine o vetor tangente unitário no ponto com valor de parâmetro dado t :
d) r(t) = sen^2(t) i + cos^2(t) j + tg^2(t) k, t = pi/4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para determinar o vetor tangente unitário no ponto onde o parâmetro para a função vetorial dada:
Para isso, vamos precisar usar cálculo vetorial, especificamente:
  1. Derivar a função vetorial para encontrar o vetor velocidade.
  2. Calcular a magnitude desse vetor velocidade.
  3. Normalizar o vetor velocidade para obter o vetor tangente unitário.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial em relação a , que nos dá o vetor velocidade . Isso significa derivar cada componente da função:
Lembrando que:
Então:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a magnitude do vetor velocidade , que é dada por:
Simplificando:

Passo 4

Queremos o vetor tangente unitário , que é obtido dividindo o vetor velocidade pela sua magnitude:
Então:

Passo 5

Agora, vamos substituir nas expressões que encontramos.
Primeiro, calculamos cada componente:
Substituindo:
Calculando a magnitude:

Passo 6

Finalmente, o vetor tangente unitário no ponto é:

Resposta

O vetor tangente unitário no ponto é:

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