Determine o vetor tangente unitário no ponto com valor de parâmetro dado
:
d)
.
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para determinar o vetor tangente unitário no ponto onde o parâmetro
para a função vetorial dada:
Para isso, vamos precisar usar cálculo vetorial, especificamente:
- Derivar a função vetorial para encontrar o vetor velocidade.
- Calcular a magnitude desse vetor velocidade.
- Normalizar o vetor velocidade para obter o vetor tangente unitário.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial
em relação a
, que nos dá o vetor velocidade
. Isso significa derivar cada componente da função:
Lembrando que:
Então:
Passo 3
Agora, precisamos calcular a magnitude do vetor velocidade
, que é dada por:
Simplificando:
Passo 4
Queremos o vetor tangente unitário
, que é obtido dividindo o vetor velocidade pela sua magnitude:
Então:
Passo 5
Agora, vamos substituir
nas expressões que encontramos.
Primeiro, calculamos cada componente:
Substituindo:
Calculando a magnitude:
Passo 6
Finalmente, o vetor tangente unitário no ponto
é:
Resposta
O vetor tangente unitário no ponto
é:
Exercícios relacionados
Determine o vetor tangente unitário no ponto com valor de parâmetro dado
:
a) ;
a)
Reparametrize pelo comprimento de arco as seguintes curvas:
a) ;
a)
Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado.
c) ;
c)
Calcule a integral:
d) .
d)