Calcule a integral. integral d t2 t^2+3 t+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é . O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais de funções racionais, ou seja, frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Vamos precisar fatorar o denominador e usar frações parciais para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador 2 t^2 + 3 t + 1 = (2 t + 1)(t + 1) . A ideia é encontrar dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e .
Então, fatorando:

Passo 3

Agora que fatoramos o denominador, a integral fica:
integral dt(2 t + 1)(t + 1)
Vamos usar frações parciais para separar essa fração em partes mais simples. Ou seja, queremos escrever:
1(2 t + 1)(t + 1) = A2 t +1 + Bt +1
onde e são constantes que vamos encontrar.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados pelo denominador 1 = A(t + 1) + B(2 t + 1) para eliminar as frações:
Agora, vamos escolher valores de que simplifiquem a equação para achar e .

Passo 5

Primeiro, escolhemos 1 = A(0) + B(-2 +1) Rightarrow 1 = -B Rightarrow B = -1 para eliminar 1 = A(-12 +1) + B(0) Rightarrow 1 = A(12) Rightarrow A = 2 :
Agora, escolhemos para eliminar :

Passo 6

Com os valores de 1(2 t +1)(t +1) = 22 t +1 - 1t +1 e encontrados, a fração fica:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 7

Integramos agora termo a termo:
integral ( 22 t +1 - 1t +1 ) dt = 2 integral dt2 t +1 - integral dtt +1
Lembre que a integral de é .

Passo 8

Aplicando a regra da integral:
2 cdot 12 ln|2 t +1| - ln|t +1| + C = ln|2 t +1| - ln|t +1| + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a .

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