Calcule a integral.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é . O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais de funções racionais, ou seja, frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Vamos precisar fatorar o denominador e usar frações parciais para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . A ideia é encontrar dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e .
Então, fatorando:

Passo 3

Agora que fatoramos o denominador, a integral fica:
Vamos usar frações parciais para separar essa fração em partes mais simples. Ou seja, queremos escrever:
onde e são constantes que vamos encontrar.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados pelo denominador para eliminar as frações:
Agora, vamos escolher valores de que simplifiquem a equação para achar e .

Passo 5

Primeiro, escolhemos para eliminar :
Agora, escolhemos para eliminar :

Passo 6

Com os valores de e encontrados, a fração fica:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 7

Integramos agora termo a termo:
Lembre que a integral de é .

Passo 8

Aplicando a regra da integral:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a .

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Calcule a integral.
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. Se e diverge, então também diverge.
Calcule a integral.
Calcule a integral.