Calcule a integral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral que é
. O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais de funções racionais, ou seja, frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Vamos precisar fatorar o denominador e usar frações parciais para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. A ideia é encontrar dois números que multiplicados dão
e somados dão
. Esses números são
e
.
Então, fatorando:
Passo 3
Agora que fatoramos o denominador, a integral fica:
Vamos usar frações parciais para separar essa fração em partes mais simples. Ou seja, queremos escrever:
onde
e
são constantes que vamos encontrar.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados pelo denominador
para eliminar as frações:
Agora, vamos escolher valores de
que simplifiquem a equação para achar
e
.
Passo 5
Primeiro, escolhemos
para eliminar
:
Agora, escolhemos
para eliminar
:
Passo 6
Com os valores de
e
encontrados, a fração fica:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.
Passo 7
Integramos agora termo a termo:
Lembre que a integral de
é
.
Passo 8
Aplicando a regra da integral:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral é igual a
.