Calcule a integral. integral1^2 (x+1)^2x d x

Passo 1

Vamos calcular a integral definida de de 1 a 2. Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar expandir a expressão e integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1 :

Passo 3

Agora, dividimos cada termo por x^2x + 2xx + 1x = x + 2 + 1x :

Passo 4

Com a expressão simplificada, podemos integrar cada termo separadamente:
integral1^2 (x + 2 + 1x) dx = integral1^2 x , dx + integral1^2 2 , dx + integral1^2 1x , dx

Passo 5

Vamos calcular cada integral:

Passo 6

Agora, avaliamos as integrais de 1 a 2:
[ 12x^2 + 2x + ln|x| ]1^2 = ( 12(2)^2 + 2(2) + ln 2 ) - ( 12(1)^2 + 2(1) + ln 1 )
Simplificando:
= ( 2 + 4 + ln 2 ) - ( 0,5 + 2 + 0 ) = 6 + ln 2 - 2,5 = 3,5 + ln 2

Resposta

O valor da integral é , aproximadamente igual a 4,1931.

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