Calcule a integral. integral raiz[3]x+1raiz[3]x-1 d x

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de uma função que envolve raízes cúbicas. O enunciado é:
integral raiz[3]x + 1raiz[3]x - 1 , dx
Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de integração, como a divisão de polinômios e substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Vamos chamar de , o que significa que e .

Passo 3

Substituindo integral t + 1t - 1 cdot 3t^2 , dt = 3 integral t + 1t - 1 cdot t^2 , dt na integral, temos:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a fração. Dividindo t + 1t - 1 = 1 + 2t - 1 por 3 integral (1 + 2t - 1) t^2 , dt , obtemos:
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos distribuir o 3 integral t^2 , dt + 6 integral t^2t - 1 , dt dentro da integral:
A primeira integral é direta, e para a segunda, podemos realizar a divisão de polinômios novamente.

Passo 6

Dividindo t^2t - 1 = t + 1 + 1t - 1 por 3 integral t^2 , dt + 6 integral (t + 1 + 1t - 1) , dt , obtemos:
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, resolvemos cada parte separadamente:

Passo 8

Substituindo de volta, temos:
3 (t^33) + 6 (t^22 + t + ln|t - 1|) + C
Simplificando:
t^3 + 3t^2 + 6t + 6ln|t - 1| + C

Passo 9

Agora, lembrando que (raiz[3]x)^3 + 3(raiz[3]x)^2 + 6raiz[3]x + 6ln|raiz[3]x - 1| + C , substituímos de volta:
x + 3x^23 + 6x^13 + 6ln|raiz[3]x - 1| + C
Simplificando :

Resposta

A integral calculada é:
x + 3x^23 + 6x^13 + 6ln|raiz[3]x - 1| + C

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