Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. Se e diverge, então também diverge.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A questão nos pede para determinar se a afirmação “Se e diverge, então também diverge” é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre integrais impróprias e o Teste de Comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre integrais impróprias. Uma integral imprópria é aquela que tem limites de integração infinitos ou onde a função não é limitada no intervalo de integração. No nosso caso, estamos lidando com integrais no intervalo de ao .
O Teste de Comparação é uma técnica que usamos para determinar a convergência ou divergência de integrais impróprias. Basicamente, se sabemos o comportamento de uma integral que é maior ou menor que a que estamos estudando, podemos concluir sobre a nossa integral.

Passo 3

Agora, vamos analisar a afirmação. Ela sugere que se é menor ou igual a para todo no intervalo considerado, e a integral de diverge, então a integral de também deve divergir.
Para verificar se isso é verdade, vamos pensar em um exemplo. Suponha que . Sabemos que diverge. Agora, escolha . Aqui, para .
Vamos calcular . Essa integral converge, pois:
Então, mesmo que e diverja, converge.

Passo 4

Com base nesse exemplo, podemos ver que a afirmação original é falsa. Ou seja, mesmo que e a integral de diverja, não é garantido que a integral de também diverja.

Resposta

A afirmação é falsa. Um exemplo que demonstra isso é e , onde , diverge, mas converge.

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Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. Se é uma função contínua, decrescente em e , então é convergente.
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. Toda função elementar tem uma primitiva elementar.
Calcule a integral.
Calcule a integral.