Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. Se
e
diverge, então
também diverge.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A questão nos pede para determinar se a afirmação “Se
e
diverge, então
também diverge” é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre integrais impróprias e o Teste de Comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre integrais impróprias. Uma integral imprópria é aquela que tem limites de integração infinitos ou onde a função não é limitada no intervalo de integração. No nosso caso, estamos lidando com integrais no intervalo de
ao
.
O Teste de Comparação é uma técnica que usamos para determinar a convergência ou divergência de integrais impróprias. Basicamente, se sabemos o comportamento de uma integral que é maior ou menor que a que estamos estudando, podemos concluir sobre a nossa integral.
Passo 3
Agora, vamos analisar a afirmação. Ela sugere que se
é menor ou igual a
para todo
no intervalo considerado, e a integral de
diverge, então a integral de
também deve divergir.
Para verificar se isso é verdade, vamos pensar em um exemplo. Suponha que
. Sabemos que
diverge. Agora, escolha
. Aqui,
para
.
Vamos calcular
. Essa integral converge, pois:
Então, mesmo que
e
diverja,
converge.
Passo 4
Com base nesse exemplo, podemos ver que a afirmação original é falsa. Ou seja, mesmo que
e a integral de
diverja, não é garantido que a integral de
também diverja.
Resposta
A afirmação é falsa. Um exemplo que demonstra isso é
e
, onde
,
diverge, mas
converge.
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Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. Se
é uma função contínua, decrescente em
e
, então
é convergente.
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. Toda função elementar tem uma primitiva elementar.
Calcule a integral.
Calcule a integral.