Calcule a integral.

Passo 1

Então, temos que calcular a integral definida . Vamos trabalhar com cálculo integral, especificamente usando substituição trigonométrica para resolver essa integral. Para isso, vamos precisar entender como transformar a expressão para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica. Vamos definir . Essa substituição é útil porque se torna uma expressão trigonométrica mais simples.

Passo 3

Com , temos que:
Além disso, calculamos a derivada de em relação a :

Passo 4

Substituindo e na integral original, temos:
A simplificação ocorre porque .

Passo 5

Agora, precisamos integrar . Lembrando que , podemos reescrever a integral:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, voltamos para a variável original . Sabemos que , então:
Portanto, a antiderivada em termos de é:

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 2:
Simplificando cada termo:
Sabemos que .

Resposta

Portanto, o valor da integral é .

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