Calcule a integral.
Passo 1
Então, temos que calcular a integral definida
. Vamos trabalhar com cálculo integral, especificamente usando substituição trigonométrica para resolver essa integral. Para isso, vamos precisar entender como transformar a expressão para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica. Vamos definir
. Essa substituição é útil porque
se torna uma expressão trigonométrica mais simples.
Passo 3
Com
, temos que:
Além disso, calculamos a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Substituindo
e
na integral original, temos:
A simplificação ocorre porque
.
Passo 5
Agora, precisamos integrar
. Lembrando que
, podemos reescrever a integral:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, voltamos para a variável original
. Sabemos que
, então:
Portanto, a antiderivada em termos de
é:
Passo 7
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 2:
Simplificando cada termo:
Sabemos que .
Resposta
Portanto, o valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral.
Calcule a integral.
Calcule a integral.
Calcule a integral.