Calcule a integral. integral1^2 raizx^2-1x d x

Passo 1

Então, temos que calcular a integral definida integral1^2 raizx^2-1x , dx. Vamos trabalhar com cálculo integral, especificamente usando substituição trigonométrica para resolver essa integral. Para isso, vamos precisar entender como transformar a expressão para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica. Vamos definir x = sec(theta). Essa substituição é útil porque raizx^2 - 1 se torna uma expressão trigonométrica mais simples.

Passo 3

Com x = sec(theta), temos que:
raizx^2 - 1 = raizsec^2(theta) - 1 = raiztan^2(theta) = tan(theta)
Além disso, calculamos a derivada de x em relação a theta:
dx = sec(theta)tan(theta) , dtheta

Passo 4

Substituindo x e dx na integral original, temos:
integral raizx^2-1x , dx = integral tan(theta)sec(theta) cdot sec(theta)tan(theta) , dtheta = integral tan^2(theta) , dtheta
A simplificação ocorre porque tan(theta)sec(theta) cdot sec(theta)tan(theta) = tan^2(theta).

Passo 5

Agora, precisamos integrar tan^2(theta). Lembrando que tan^2(theta) = sec^2(theta) - 1, podemos reescrever a integral:
integral tan^2(theta) , dtheta = integral (sec^2(theta) - 1) , dtheta = tan(theta) - theta + C
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, voltamos para a variável original x. Sabemos que x = sec(theta), então:
Portanto, a antiderivada em termos de tan(theta) = raizx^2 - 1 e theta = arcsec(x) é:

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 2:
Simplificando cada termo:
Sabemos que .

Resposta

Portanto, o valor da integral é raiz3 - dfracpi3.

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