Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
; em torno do eixo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o volume gerado quando a região delimitada pelas curvas e é girada em torno do eixo . Para isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é uma técnica de cálculo para determinar volumes de sólidos de revolução. Vamos precisar entender como aplicar esse método, identificar os limites de integração e resolver a integral resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as curvas:
  • é uma parábola que abre para a direita, com vértice em .
  • é uma linha vertical.
Para encontrar a região que vamos girar, precisamos determinar onde essas curvas se intersectam. Igualando as equações:
Então, a região está entre e .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método das cascas cilíndicas. Esse método é útil quando giramos uma região em torno de um eixo e queremos integrar em relação a uma variável diferente.
A fórmula geral para o volume usando cascas cilíndicas ��:
Aqui:
  • Raio: a distância de um ponto até o eixo de rotação ( -eixo). Como estamos girando em torno do -eixo, o raio é simplesmente .
  • Altura: a diferença entre as funções que limitam a região em termos de . Isso é .
No nosso caso:
Então, a altura é .

Passo 4

Com tudo isso, podemos montar a integral para o volume:
Vamos resolver a integral passo a passo:
  1. Expandir a expressão dentro da integral:
  1. Calcular :
  1. Substituir de volta na integral:
  1. Integrar cada termo:
  1. Aplicar os limites de integração de 1 a 3:
  1. Calcular cada parte:
Para :
Para :
  1. Substituir de volta:

Resposta

O volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas em torno do eixo é unidades cúbicas.

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Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
; em torno do eixo .
Calcule a integral:
Calcule a integral:
Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
; em torno do eixo .