Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
; em torno do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o volume gerado quando a região delimitada pelas curvas
e
é girada em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é uma técnica de cálculo para determinar volumes de sólidos de revolução. Vamos precisar entender como aplicar esse método, identificar os limites de integração e resolver a integral resultante.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as curvas:
-
é uma parábola que abre para a direita, com vértice em . -
é uma linha vertical.
Para encontrar a região que vamos girar, precisamos determinar onde essas curvas se intersectam. Igualando as equações:
Então, a região está entre
e
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o método das cascas cilíndicas. Esse método é útil quando giramos uma região em torno de um eixo e queremos integrar em relação a uma variável diferente.
A fórmula geral para o volume usando cascas cilíndicas ��:
Aqui:
-
Raio: a distância de um ponto
até o eixo de rotação ( -eixo). Como estamos girando em torno do -eixo, o raio é simplesmente . -
Altura: a diferença entre as funções que limitam a região em termos de
. Isso é .
No nosso caso:
Então, a altura é
.
Passo 4
Com tudo isso, podemos montar a integral para o volume:
Vamos resolver a integral passo a passo:
- Expandir a expressão dentro da integral:
- Calcular
:
- Substituir de volta na integral:
- Integrar cada termo:
- Aplicar os limites de integração de 1 a 3:
- Calcular cada parte:
Para
:
Para
:
- Substituir de volta:
Resposta
O volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas em torno do eixo
é
unidades cúbicas.
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; em torno do eixo
.
Calcule a integral:
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; em torno do eixo
.