Calcule integral d xx^3-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de em relação a . Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, mais especificamente de integração de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar usar a fração parcial, que ajuda a decompor frações complicadas em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) . Sabemos que x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) é uma diferença de cubos, e a fórmula para fatorar uma diferença de cubos é:
Aplicando isso com e :

Passo 3

Agora, usamos a técnica de frações parciais para decompor 1(x - 1)(x^2 + x + 1) = Ax - 1 + Bx + Cx^2 + x + 1 . Queremos expressar isso como:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por 1 = A(x^2 + x + 1) + (Bx + C)(x - 1) para eliminar as frações:
1 = A x^2 + A x + A + B x^2 - B x + C x - C
Agora, expandimos e agrupamos os termos semelhantes:
1 = (A + B)x^2 + (A - B + C)x + (A - C)

Passo 5

Para que as duas expressões sejam iguais para todo A + B = 0 A - B + C = 0 A - C = 1 , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então, igualamos os coeficientes:
Resolvendo esse sistema de equações:
  1. Da primeira equação: .
  2. Substituindo na segunda equação: .
  3. Substituindo na terceira equação: .
  4. Então, e .

Passo 6

Agora que temos 1x^3 - 1 = 13x - 1 + -13x - 23x^2 + x + 1 , 1x^3 - 1 = 13(x - 1) - x + 23(x^2 + x + 1) e , podemos reescrever a fração original:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 13(x - 1) , dx - integral x + 23(x^2 + x + 1) , dx
Podemos separar os integrais:
13 integral 1x - 1 , dx - 13 integral x + 2x^2 + x + 1 , dx

Passo 8

O primeiro integral é direto:
13 ln|x - 1|
Para o segundo integral, precisamos completar o quadrado no denominador x^2 + x + 1 = (x + 12)^2 + 34 :

Passo 9

Dividimos o numerador x + 2 = (x + 12) + 32 em duas partes para facilitar a integração:
- 13 ( integral x + 12(x + 12)^2 + 34 , dx + integral 32(x + 12)^2 + 34 , dx )
Então, o segundo integral fica:

Passo 10

Agora, reconhecemos que:
integral uu^2 + a^2 , du = 12 ln|u^2 + a^2|
e
integral 1u^2 + a^2 , du = 1a tan^-1(ua)
Aplicando essas fórmulas:
- 13 ( 12 ln((x + 12)^2 + 34) + 32 cdot 2raiz3 tan^-1(2raiz3(x + 12)) )

Passo 11

Simplificando tudo, juntamos os resultados dos dois integrais:
13 ln|x - 1| - 16 ln((x + 12)^2 + 34) - 1raiz3 tan^-1(2x + 1raiz3) + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

integral dxx^3 - 1 = 13 ln|x - 1| - 16 ln((x + 12)^2 + 34) - 1raiz3 tan^-1(2x + 1raiz3) + C

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