Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de em relação a . Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, mais especificamente de integração de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar usar a fração parcial, que ajuda a decompor frações complicadas em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador . Sabemos que é uma diferença de cubos, e a fórmula para fatorar uma diferença de cubos é:
Aplicando isso com e :
Passo 3
Agora, usamos a técnica de frações parciais para decompor . Queremos expressar isso como:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar as frações:
Agora, expandimos e agrupamos os termos semelhantes:
Passo 5
Para que as duas expressões sejam iguais para todo , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então, igualamos os coeficientes:
Resolvendo esse sistema de equações:
Da primeira equação: .
Substituindo na segunda equação: .
Substituindo na terceira equação: .
Então, e .
Passo 6
Agora que temos 1x^3 - 1 = 13x - 1 + -13x - 23x^2 + x + 1 , 1x^3 - 1 = 13(x - 1) - x + 23(x^2 + x + 1) e , podemos reescrever a fração original:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 13(x - 1) , dx - integral x + 23(x^2 + x + 1) , dx
Podemos separar os integrais:
13 integral 1x - 1 , dx - 13 integral x + 2x^2 + x + 1 , dx
Passo 8
O primeiro integral é direto:
13 ln|x - 1|
Para o segundo integral, precisamos completar o quadrado no denominador x^2 + x + 1 = (x + 12)^2 + 34 :
Passo 9
Dividimos o numerador x + 2 = (x + 12) + 32 em duas partes para facilitar a integração:
- 13 ( integral x + 12(x + 12)^2 + 34 , dx + integral 32(x + 12)^2 + 34 , dx )