Dada f(x) = x - 2 sen(x), 0 < x < 3 pi, encontre: os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função definida no intervalo . Precisamos descobrir onde essa função é côncava para cima ou para baixo e identificar os pontos de inflexão, que são os pontos onde a concavidade da função muda.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especialmente as derivadas. Vamos calcular a segunda derivada da função, pois ela nos ajudará a determinar a concavidade.

Passo 2

Vamos começar encontrando a primeira derivada da função . A primeira derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, a inclinação da curva em cada ponto.
A função é:
Derivando termo a termo:
  • A derivada de em relação a é 1.
  • A derivada de é .
Então, a primeira derivada é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada . A segunda derivada nos ajuda a determinar a concavidade da função.
Derivando novamente :
  • A derivada de 1 é 0.
  • A derivada de é .
Portanto, a segunda derivada é:

Passo 4

Com a segunda derivada em mãos, podemos analisar a concavidade da função:
  • Se , a função é côncava para cima.
  • Se , a função é côncava para baixo.
  • Se , pode haver um ponto de inflexão, onde a concavidade muda.
Vamos identificar onde e verificar o sinal de em cada intervalo determinado por esses pontos.

Passo 5

Resolvendo :
Sabemos que quando , onde é um número inteiro.
No intervalo , as soluções são:

Passo 6

Agora, vamos analisar o sinal de em cada intervalo definido pelos pontos e :
  1. Intervalo :
    • A função é côncava para cima.
  2. Intervalo :
    • A função é côncava para baixo.
  3. Intervalo :
    • A função é côncava para cima.

Passo 7

Os pontos onde a concavidade muda são chamados de pontos de inflexão. Eles ocorrem onde e o sinal de realmente muda.
No nosso caso, esses pontos são:

Resposta

A função é côncava para cima nos intervalos e , e côncava para baixo no intervalo . Além disso, os pontos de inflexão ocorrem em e .

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