Dada
, encontre: os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
definida no intervalo
. Precisamos descobrir onde essa função é côncava para cima ou para baixo e identificar os pontos de inflexão, que são os pontos onde a concavidade da função muda.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especialmente as derivadas. Vamos calcular a segunda derivada da função, pois ela nos ajudará a determinar a concavidade.
Passo 2
Vamos começar encontrando a primeira derivada da função
. A primeira derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, a inclinação da curva em cada ponto.
A função é:
Derivando termo a termo:
- A derivada de
em relação a é 1. - A derivada de
é .
Então, a primeira derivada é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada
. A segunda derivada nos ajuda a determinar a concavidade da função.
Derivando novamente
:
- A derivada de 1 é 0.
- A derivada de
é .
Portanto, a segunda derivada é:
Passo 4
Com a segunda derivada em mãos, podemos analisar a concavidade da função:
- Se
, a função é côncava para cima. - Se
, a função é côncava para baixo. - Se
, pode haver um ponto de inflexão, onde a concavidade muda.
Vamos identificar onde
e verificar o sinal de
em cada intervalo determinado por esses pontos.
Passo 5
Resolvendo
:
Sabemos que
quando
, onde
é um número inteiro.
No intervalo
, as soluções são:
Passo 6
Agora, vamos analisar o sinal de
em cada intervalo definido pelos pontos
e
:
-
Intervalo
: -
⇒ - A função é côncava para cima.
-
-
Intervalo
: -
⇒ - A função é côncava para baixo.
-
-
Intervalo
: -
⇒ - A função é côncava para cima.
-
Passo 7
Os pontos onde a concavidade muda são chamados de pontos de inflexão. Eles ocorrem onde
e o sinal de
realmente muda.
No nosso caso, esses pontos são:
Resposta
A função
é côncava para cima nos intervalos
e
, e côncava para baixo no intervalo
. Além disso, os pontos de inflexão ocorrem em
e
.
Exercícios relacionados
Sejam
a superfície paramétrica dada por
, e
superficie dada por
.
Calcular o fluxo de através de
na direção de vetor normal unitário exterior a
.
Calcular o fluxo de
Calcule
se:
;
Calcule
Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de
no intervalo dado.
;