Sejam a superfície paramétrica dada por , e superficie dada por .
Calcular o fluxo de através de na direção de vetor normal unitário exterior a .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo de um campo vetorial através da superfície . A matéria envolvida aqui é o cálculo vetorial, especificamente o conceito de fluxo através de superfícies parametrizadas. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a superfície , determinar o vetor normal unitário exterior a essa superfície e, por fim, calcular o produto escalar entre e esse vetor normal para integrar sobre a superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a superfície . Ela é dada pela parametrização:
Essa é uma parte inferior de um cone, já que a componente é negativa e igual a . O domínio indica que estamos lidando com um círculo de raio 6 no plano .
Passo 3
Para calcular o fluxo, precisamos do vetor normal à superfície . Para isso, vamos encontrar os vetores tangentes e :
O vetor normal é o produto vetorial desses vetores tangentes:
Passo 4
Fazendo o produto vetorial:
Passo 5
Agora, precisamos normalizar esse vetor para obter o vetor normal unitário :
Então,
Passo 6
Agora, temos que expressar o fluxo através de . O fluxo é dado por:
Onde é o elemento de área da superfície. Como já temos a parametrização, podemos expressar como:
Passo 7
Substituindo e na expressão do fluxo:
Simplificando com :
Passo 8
Agora, precisamos especificar o campo vetorial . Supondo que seja dado em termos de e , substituímos na expressão acima e realizamos o produto escalar.
Por exemplo, se , então:
Passo 9
Finalmente, integramos essa expressão sobre o domínio . Dependendo da forma de , podemos escolher coordenadas polares para facilitar a integração:
Nesse sistema, o elemento de área se transforma em .
Resposta
Após realizar todas as integrações necessárias, o fluxo de através de na direção do vetor normal unitário exterior é igual a .