Sejam S1 a superfície paramétrica dada por vec(r1)(u, v) = (u, v, raiz(u^2 + v^2)), u^2 + v^2 <= 36, e S2 superficie dada por r2(u, v) = (u, v, -raiz(u^2 + v^2), u^2 + v^2 <= 36.
Calcular o fluxo de f através de S2 na direção de vetor normal unitário exterior a S2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo de um campo vetorial através da superfície . A matéria envolvida aqui é o cálculo vetorial, especificamente o conceito de fluxo através de superfícies parametrizadas. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a superfície , determinar o vetor normal unitário exterior a essa superfície e, por fim, calcular o produto escalar entre e esse vetor normal para integrar sobre a superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a superfície . Ela é dada pela parametrização:
Essa é uma parte inferior de um cone, já que a componente é negativa e igual a . O domínio indica que estamos lidando com um círculo de raio 6 no plano .

Passo 3

Para calcular o fluxo, precisamos do vetor normal à superfície . Para isso, vamos encontrar os vetores tangentes e :
O vetor normal é o produto vetorial desses vetores tangentes:

Passo 4

Fazendo o produto vetorial:

Passo 5

Agora, precisamos normalizar esse vetor para obter o vetor normal unitário :
Então,

Passo 6

Agora, temos que expressar o fluxo através de . O fluxo é dado por:
Onde é o elemento de área da superfície. Como já temos a parametrização, podemos expressar como:

Passo 7

Substituindo e na expressão do fluxo:
Simplificando com :

Passo 8

Agora, precisamos especificar o campo vetorial . Supondo que seja dado em termos de e , substituímos na expressão acima e realizamos o produto escalar.
Por exemplo, se , então:

Passo 9

Finalmente, integramos essa expressão sobre o domínio . Dependendo da forma de , podemos escolher coordenadas polares para facilitar a integração:
Nesse sistema, o elemento de área se transforma em .

Resposta

Após realizar todas as integrações necessárias, o fluxo de através de na direção do vetor normal unitário exterior é igual a .

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