Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de
no intervalo dado.
;
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos precisar. A gente tem a função
definida no intervalo
. A tarefa é encontrar os valores máximo e mínimo absolutos dessa função nesse intervalo. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, mais especificamente derivadas, para localizar os pontos onde a função pode atingir esses valores extremos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que os valores máximos e mínimos absolutos de uma função em um intervalo fechado podem ocorrer em pontos críticos (onde a derivada é zero ou não existe) ou nas extremidades do intervalo. Então, nosso plano é:
- Encontrar a derivada de
. - Determinar onde essa derivada é igual a zero para achar os pontos críticos.
- Avaliar
nesses pontos críticos e também nas extremidades do intervalo . - Comparar esses valores para identificar o máximo e o mínimo absolutos.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dela, e pontos onde a derivada é zero são onde a função pode ter máximos ou mínimos.
Derivando termo a termo:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo
:
Isso nos dá:
Então, os pontos críticos são
,
e
.
Passo 5
Agora, vamos avaliar a função
nesses pontos críticos e também nas extremidades do intervalo
:
Passo 6
Agora, vamos comparar os valores obtidos:
Pelo que vimos, o maior valor é 66 e o menor valor é 2.
Resposta
O valor máximo absoluto de
no intervalo
é
e o valor mínimo absoluto é
.
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Dada
, encontre: os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
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