Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f no intervalo dado. f(x) = x^4 - 2 x^2 + 3, [-2, 3];

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos precisar. A gente tem a função definida no intervalo . A tarefa é encontrar os valores máximo e mínimo absolutos dessa função nesse intervalo. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, mais especificamente derivadas, para localizar os pontos onde a função pode atingir esses valores extremos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que os valores máximos e mínimos absolutos de uma função em um intervalo fechado podem ocorrer em pontos críticos (onde a derivada é zero ou não existe) ou nas extremidades do intervalo. Então, nosso plano é:
  1. Encontrar a derivada de .
  2. Determinar onde essa derivada é igual a zero para achar os pontos críticos.
  3. Avaliar nesses pontos críticos e também nas extremidades do intervalo .
  4. Comparar esses valores para identificar o máximo e o mínimo absolutos.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de . A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dela, e pontos onde a derivada é zero são onde a função pode ter máximos ou mínimos.
Derivando termo a termo:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo :
Isso nos dá:
Então, os pontos críticos são , e .

Passo 5

Agora, vamos avaliar a função nesses pontos críticos e também nas extremidades do intervalo :

Passo 6

Agora, vamos comparar os valores obtidos:
Pelo que vimos, o maior valor é 66 e o menor valor é 2.

Resposta

O valor máximo absoluto de no intervalo é e o valor mínimo absoluto é .

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