Calcule integral sec ^4 ttan t d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular . A matéria que vamos usar aqui é cálculo integral, mais especificamente a técnica de substituição. Para resolver, vamos precisar lembrar como as funções trigonométricas se relacionam e aplicar a substituição adequada para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão da integral para facilitar a visualização. Sabemos que integral sec^4 ttan t dt = integral 1cos^4 tsin tcos t dt = integral 1cos^4 t cdot cos tsin t dt = integral 1cos^3 t cdot sin t dt e . Então, podemos reescrever a integral assim:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar du = cos t , dt Rightarrow dt = ducos t . Então, a derivada de em relação a é:

Passo 4

Substituindo integral 1cos^3 t cdot sin t cdot ducos t = integral 1cos^4 t cdot u du e integral 1(1 - u^2)^2 cdot u du na nossa integral, temos:
Mas sabemos que , então . Substituindo isso na integral:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a integral:
integral 1u(1 - u^2)^2 du
Podemos fazer uma nova substituição para resolver essa integral. Vamos deixar dv = -2u , du Rightarrow dv-2u = du . Então:

Passo 6

Substituindo integral 1u cdot v^2 cdot dv-2u = -12 integral 1u^2 cdot v^2 dv e -12 integral 1(1 - v) cdot v^2 dv na integral, temos:
Mas , então substituindo de volta:

Passo 7

Agora, para resolver a integral 1v^2(1 - v) = Av + Bv^2 + C1 - v , vamos usar frações parciais. Vamos decompor a fração:
1 = A v (1 - v) + B (1 - v) + C v^2
Multiplicando ambos os lados por :
Resolvendo para A, B e C, encontramos , e .

Passo 8

Agora, substituindo os valores de A, B e C de volta na integral:
-12 integral ( -1v + 1v^2 + 11 - v ) dv = -12 ( -ln |v| - 1v - ln |1 - v| ) + C
Simplificando:
12 ln |v| + 12v + 12 ln |1 - v| + C

Passo 9

Lembrando que 12 ln |1 - u^2| + 12(1 - u^2) + 12 ln |u^2| + C e 12 ln |1 - sin^2 t| + 12(1 - sin^2 t) + 12 ln |sin t|^2 + C , substituímos de volta:
12 ln |cos^2 t| + 12 cos^2 t + ln |sin t| + C
Simplificando ainda mais:
Como , temos:

Resposta

integral sec^4 ttan t dt = 12 ln |cos^2 t| + 12 cos^2 t + ln |sin t| + C

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