Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular
. A matéria que vamos usar aqui é cálculo integral, mais especificamente a técnica de substituição. Para resolver, vamos precisar lembrar como as funções trigonométricas se relacionam e aplicar a substituição adequada para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão da integral para facilitar a visualização. Sabemos que
e
. Então, podemos reescrever a integral assim:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Substituindo
e
na nossa integral, temos:
Mas sabemos que
, então
. Substituindo isso na integral:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a integral:
Podemos fazer uma nova substituição para resolver essa integral. Vamos deixar
. Então:
Passo 6
Substituindo
e
na integral, temos:
Mas
, então substituindo de volta:
Passo 7
Agora, para resolver a integral
, vamos usar frações parciais. Vamos decompor a fração:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resolvendo para A, B e C, encontramos
,
e
.
Passo 8
Agora, substituindo os valores de A, B e C de volta na integral:
Simplificando:
Passo 9
Lembrando que
e
, substituímos de volta:
Simplificando ainda mais:
Como
, temos:
Resposta
Exercícios relacionados
Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de
no intervalo dado.
;
Calcule
Calcule
Dada
, encontre: os intervalos nos quais
é crescente ou decrescente;