Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
, onde é o disco com centro na origem e raio 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dada: , onde é um disco com centro na origem e raio 2. Para isso, vamos usar coordenadas polares, que são ótimas para trabalhar com regiões circulares como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como converter de coordenadas cartesianas para coordenadas polares . Nas coordenadas polares:
Além disso, o elemento de área em coordenadas polares fica:

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral em coordenadas polares. Sabemos que , então a integral fica:

Passo 4

Vamos definir os limites de integração. Como é um disco de raio 2:
  • varia de 0 a 2
  • varia de 0 a
Portanto, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Para resolver essa integral, usamos a técnica de integraç��o por partes, onde:
Aplicando a integração por partes:
Substituindo:
Calculando:

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Como é uma constante em relação a , a integral fica:

Passo 7

Agora, basta multiplicar os termos:

Resposta

A integral calculada é:

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Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
, onde é a região que fica entre os círculos e com
Determine a expansão em série de Fourier da função periódica
Faça a representação gráfica da série e responda: