Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. , onde é o disco com centro na origem e raio 2
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral dada: , onde é um disco com centro na origem e raio 2. Para isso, vamos usar coordenadas polares, que são ótimas para trabalhar com regiões circulares como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como converter de coordenadas cartesianas para coordenadas polares . Nas coordenadas polares:
Além disso, o elemento de área em coordenadas polares fica:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a integral em coordenadas polares. Sabemos que , então a integral fica:
Passo 4
Vamos definir os limites de integração. Como é um disco de raio 2:
varia de 0 a 2
varia de 0 a
Portanto, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a :
Para resolver essa integral, usamos a técnica de integraç��o por partes, onde:
Aplicando a integração por partes:
Substituindo:
Calculando:
= 2 sin 2 + (cos 0 - cos 2)
= 2 sin 2 + (1 - cos 2)
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^2pi (2 sin 2 + 1 - cos 2) , dtheta
Como (2 sin 2 + 1 - cos 2) integral0^2pi dtheta é uma constante em relação a = (2 sin 2 + 1 - cos 2) cdot 2pi , a integral fica: