Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
integral duplaD cos raizx^2+y^2 d A, onde D é o disco com centro na origem e raio 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dada: , onde é um disco com centro na origem e raio 2. Para isso, vamos usar coordenadas polares, que são ótimas para trabalhar com regiões circulares como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como converter de coordenadas cartesianas x = r cos theta e y = r sin theta para coordenadas polares dA = r , dr , dtheta . Nas coordenadas polares:
Além disso, o elemento de área em coordenadas polares fica:

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral em coordenadas polares. Sabemos que integral duplaD cos r cdot r , dr , dtheta , então a integral fica:

Passo 4

Vamos definir os limites de integração. Como integral0^2pi integral0^2 cos r cdot r , dr , dtheta é um disco de raio 2:
  • varia de 0 a 2
  • varia de 0 a
Portanto, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^2 cos r cdot r , dr :
u = r Rightarrow du = dr
Para resolver essa integral, usamos a técnica de integraç��o por partes, onde:
dv = cos r , dr Rightarrow v = sin r
integral u , dv = uv - integral v , du
Aplicando a integração por partes:
integral0^2 r cos r , dr = r sin r gr|0^2 - integral0^2 sin r , dr
Substituindo:
= 2 sin 2 - 0 sin 0 - (-cos r) gr|0^2
Calculando:
= 2 sin 2 + (cos 0 - cos 2)
= 2 sin 2 + (1 - cos 2)

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^2pi (2 sin 2 + 1 - cos 2) , dtheta
Como (2 sin 2 + 1 - cos 2) integral0^2pi dtheta é uma constante em relação a = (2 sin 2 + 1 - cos 2) cdot 2pi , a integral fica:

Passo 7

Agora, basta multiplicar os termos:
2pi (2 sin 2 + 1 - cos 2)

Resposta

A integral calculada é:
2pi (2 sin 2 + 1 - cos 2)

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