Esboce a região de integração e mude a ordem de integração.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo: temos uma integral dupla definida por
. O objetivo é esboçar a região de integração no plano
e, em seguida, mudar a ordem de integração dessa integral. Para resolver isso, vamos precisar saber como identificar e desenhar a região de integração e entender como alterar a ordem dos limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar a região de integração. A integral
nos diz que
varia de 0 a 1 e, para cada valor de
,
varia de 0 até
. No entanto, parece haver um pequeno erro nos limites de integração. Geralmente, o limite interno deve depender do externo. Vamos supor que a integral correta seja
, onde
varia de 0 a
para cada
entre 0 e 1.
Passo 3
Com
variando de 0 a 1 e
variando de 0 a
, podemos desenhar a região de integração no plano
. Imagine um gráfico onde o eixo
vai de 0 a 1 e, para cada
,
vai de 0 até
. Isso forma um triângulo com vértices em
,
e
.
Passo 4
Agora, vamos mudar a ordem de integração. Para isso, precisamos reescrever os limites de integração com
sendo a variável externa. Observando a região triangular que desenhamos, para cada
entre 0 e 1,
varia de
até 1. Portanto, a nova integral com ordem invertida será
.
Resposta
Após esboçar a região de integração, a ordem da integral foi invertida. A integral original
torna-se
após a mudança da ordem de integração.
Exercícios relacionados
Seja
, dada por
Obtenha a equação cartesiana do plano osculador de
no ponto
.
Seja
, dada por
Mostre que
é uma curva plana e obtenha a equação do plano que a contém;
Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.
Limitado pelo paraboloide e pelo plano
no primeiro octante
Limitado pelo paraboloide
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
, onde
é o disco com centro na origem e raio 2