Esboce a região de integração e mude a ordem de integração.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo: temos uma integral dupla definida por . O objetivo é esboçar a região de integração no plano e, em seguida, mudar a ordem de integração dessa integral. Para resolver isso, vamos precisar saber como identificar e desenhar a região de integração e entender como alterar a ordem dos limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar a região de integração. A integral nos diz que varia de 0 a 1 e, para cada valor de , varia de 0 até . No entanto, parece haver um pequeno erro nos limites de integração. Geralmente, o limite interno deve depender do externo. Vamos supor que a integral correta seja , onde varia de 0 a para cada entre 0 e 1.

Passo 3

Com variando de 0 a 1 e variando de 0 a , podemos desenhar a região de integração no plano . Imagine um gráfico onde o eixo vai de 0 a 1 e, para cada , vai de 0 até . Isso forma um triângulo com vértices em , e .

Passo 4

Agora, vamos mudar a ordem de integração. Para isso, precisamos reescrever os limites de integração com sendo a variável externa. Observando a região triangular que desenhamos, para cada entre 0 e 1, varia de até 1. Portanto, a nova integral com ordem invertida será .

Resposta

Após esboçar a região de integração, a ordem da integral foi invertida. A integral original torna-se após a mudança da ordem de integração.

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