Determine a expansão em série de Fourier da função periódica
Faça a representação gráfica da série e responda:
Passo 1
Ok, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a expansão em série de Fourier da função periódica
no intervalo
com período 2. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de Fourier, que nos ajudam a representar funções periódicas como somas de senos e cossenos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier para uma função com período
(no nosso caso,
então
) é dada por:
Como nossa função
é uma função par (isto é,
), todos os coeficientes
serão zero. Portanto, só precisamos calcular os coeficientes
e
.
Passo 3
Vamos calcular o coeficiente
. A fórmula para
é:
Substituindo
e
:
Integrando:
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes
. A fórmula para
é:
Substituindo
e
:
Como
e
são funções pares, podemos simplificar a integral:
Utilizando integração por partes duas vezes, encontramos:
Passo 5
Juntando tudo, a série de Fourier para
com período 2 é:
Essa série representa a função
de forma periódica no intervalo
.
Resposta
A expansão em série de Fourier da função
com período 2 é:
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Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
, onde
é a região que fica entre os círculos
e
com
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
, onde
é o disco com centro na origem e raio 2
EXERCÍNIO: CALWLE AS INTEGRAIS
DEFINIDAS
DEFINIDAS
EXERCÍNIO: CALWLE AS INTEGRAIS
DEFINIDAS
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