Determine a expansão em série de Fourier da função periódica
f(x) = x^2, -1 <= x < 1, f(x) = f(x + 2)
Faça a representação gráfica da série e responda:

Passo 1

Ok, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a expansão em série de Fourier da função periódica no intervalo com período 2. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de Fourier, que nos ajudam a representar funções periódicas como somas de senos e cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier para uma função com período (no nosso caso, então ) é dada por:
Como nossa função é uma função par (isto é, ), todos os coeficientes serão zero. Portanto, só precisamos calcular os coeficientes e .

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente . A fórmula para é:
Substituindo e :
Integrando:

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes . A fórmula para é:
Substituindo e :
Como e são funções pares, podemos simplificar a integral:
Utilizando integração por partes duas vezes, encontramos:

Passo 5

Juntando tudo, a série de Fourier para com período 2 é:
Essa série representa a função de forma periódica no intervalo .

Resposta

A expansão em série de Fourier da função com período 2 é:

Exercícios relacionados