Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
integral duplaR y^2x^2+y^2 d A, onde R é a região que fica entre os círculos x^2+y^2=a^2 e x^2+y^2=b^2 com 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular uma integral dupla usando coordenadas polares. O conteúdo aqui envolve cálculo integral em coordenadas polares, e vamos precisar saber como mudar de coordenadas cartesianas para polares, além de entender a região de integração que está entre dois círculos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que vamos integrar e a região de integração. A integral é:
integral duplaR y^2x^2+y^2 , dA
E a região está entre os círculos e , onde .

Passo 3

Como estamos trabalhando com círculos, é mais fácil usar coordenadas polares. Lembre-se que em coordenadas polares, e , e a área infinitesimal é igual a .

Passo 4

Vamos reescrever a função dentro da integral em termos de y^2x^2+y^2 = (r sin theta)^2r^2 = r^2 sin^2 thetar^2 = sin^2 theta e integral duplaR sin^2 theta , r , dr , dtheta :
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, definimos os limites de integração. A região está entre e e envolve todos os ângulos ao redor do círculo, ou seja, varia de a .

Passo 6

Vamos separar a integral em duas partes, já que ( integral0^2pi sin^2 theta , dtheta ) times ( integrala^b r , dr ) não depende de :

Passo 7

Calculando a primeira integral:
integral0^2pi sin^2 theta , dtheta = pi
Isso porque a média de em um período completo é , então .

Passo 8

Calculando a segunda integral:
integrala^b r , dr = 12(b^2 - a^2)

Passo 9

Multiplicando os resultados das duas integrais:
pi times 12(b^2 - a^2) = pi2(b^2 - a^2)

Resposta

A integral vale .

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