Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
, onde é a região que fica entre os círculos e com

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular uma integral dupla usando coordenadas polares. O conteúdo aqui envolve cálculo integral em coordenadas polares, e vamos precisar saber como mudar de coordenadas cartesianas para polares, além de entender a região de integração que está entre dois círculos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que vamos integrar e a região de integração. A integral é:
E a região está entre os círculos e , onde .

Passo 3

Como estamos trabalhando com círculos, é mais fácil usar coordenadas polares. Lembre-se que em coordenadas polares, e , e a área infinitesimal é igual a .

Passo 4

Vamos reescrever a função dentro da integral em termos de e :
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, definimos os limites de integração. A região está entre e e envolve todos os ângulos ao redor do círculo, ou seja, varia de a .

Passo 6

Vamos separar a integral em duas partes, já que não depende de :

Passo 7

Calculando a primeira integral:
Isso porque a média de em um período completo é , então .

Passo 8

Calculando a segunda integral:

Passo 9

Multiplicando os resultados das duas integrais:

Resposta

A integral vale .

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Faça a representação gráfica da série e responda:
EXERCÍNIO: CALWLE AS INTEGRAIS
DEFINIDAS