Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
, onde
é a região que fica entre os círculos
e
com
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular uma integral dupla usando coordenadas polares. O conteúdo aqui envolve cálculo integral em coordenadas polares, e vamos precisar saber como mudar de coordenadas cartesianas para polares, além de entender a região de integração que está entre dois círculos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que vamos integrar e a região de integração. A integral é:
E a região
está entre os círculos
e
, onde
.
Passo 3
Como estamos trabalhando com círculos, é mais fácil usar coordenadas polares. Lembre-se que em coordenadas polares,
e
, e a área infinitesimal
é igual a
.
Passo 4
Vamos reescrever a função dentro da integral em termos de
e
:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, definimos os limites de integração. A região
está entre
e
e envolve todos os ângulos ao redor do círculo, ou seja,
varia de
a
.
Passo 6
Vamos separar a integral em duas partes, já que
não depende de
:
Passo 7
Calculando a primeira integral:
Isso porque a média de
em um período completo é
, então
.
Passo 8
Calculando a segunda integral:
Passo 9
Multiplicando os resultados das duas integrais:
Resposta
A integral vale
.
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Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
, onde
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Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.
Limitado pelo paraboloide e pelo plano
no primeiro octante
Limitado pelo paraboloide
Determine a expansão em série de Fourier da função periódica
Faça a representação gráfica da série e responda:
EXERCÍNIO: CALWLE AS INTEGRAIS
DEFINIDAS
DEFINIDAS