Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.
Limitado pelo paraboloide
e pelo plano
no primeiro octante
Limitado pelo paraboloide
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido no primeiro octante que está limitado pelo paraboloide
e pelo plano
, usando coordenadas polares. Isso significa que vamos transformar as coordenadas cartesianas
em coordenadas polares
para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender onde o paraboloide e o plano se interceptam. Para isso, igualamos as duas equações:
Resolvendo para
:
Em coordenadas polares, sabemos que
, então:
Isso nos dá o limite para
na integral.
Passo 3
Como estamos no primeiro octante, os ângulos
variam de
a
.
Agora, vamos configurar a integral tripla para calcular o volume. Em coordenadas polares, o elemento de área é
e o volume é dado por:
Passo 4
Vamos resolver a integral mais interna primeiro, que é em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, resolvemos a integral em relação a
:
Passo 6
Por fim, resolvemos a integral em relação a
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração.
Seja
, dada por
Obtenha a equação cartesiana do plano osculador de
no ponto
.
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
, onde
é o disco com centro na origem e raio 2
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
, onde
é a região que fica entre os círculos
e
com