Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.
Limitado pelo paraboloide e pelo plano no primeiro octante

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido no primeiro octante que está limitado pelo paraboloide e pelo plano , usando coordenadas polares. Isso significa que vamos transformar as coordenadas cartesianas em coordenadas polares para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender onde o paraboloide e o plano se interceptam. Para isso, igualamos as duas equações:
Resolvendo para :
Em coordenadas polares, sabemos que , então:
Isso nos dá o limite para na integral.

Passo 3

Como estamos no primeiro octante, os ângulos variam de a .
Agora, vamos configurar a integral tripla para calcular o volume. Em coordenadas polares, o elemento de área é e o volume é dado por:

Passo 4

Vamos resolver a integral mais interna primeiro, que é em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, resolvemos a integral em relação a :

Passo 6

Por fim, resolvemos a integral em relação a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Esboce a região de integração e mude a ordem de integração.
Seja , dada por
Obtenha a equação cartesiana do plano osculador de no ponto .
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
, onde é o disco com centro na origem e raio 2
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
, onde é a região que fica entre os círculos e com