Determine o volume do sólido dado:
Abaixo do plano e acima da região limitada por .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está abaixo do plano e acima da região no plano xy limitada pelas curvas e .
Aqui, vamos usar Cálculo de Volumes com Integrais Duplas. Para isso, precisamos:
  1. Entender a região onde vamos calcular o volume.
  2. Expressar a equação do plano para saber a altura do sólido.
  3. Configurar e calcular a integral dupla.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação do plano para encontrar em função de e :
Isso quer dizer que, para cada ponto na região limitada, a altura do sólido até o plano é dada por .

Passo 3

Agora, vamos entender a região no plano xy limitada pelas curvas e .
Para visualizar isso, é útil desenhar os gráficos de (uma função exponencial crescente) e (uma parábola mais achatada). Queremos saber onde essas duas curvas se encontram para definir os limites de integração.

Passo 4

Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas resolvendo .
Isso geralmente não tem solução exata fácil, então vamos testar alguns valores de :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Parece que as curvas se cruzam entre e . Para simplificar, vamos considerar variando de 0 a 1 como nossos limites de integração.

Passo 5

Com os limites definidos, vamos configurar a integral dupla para calcular o volume. A fórmula geral para o volume é:
ã
Substituindo , temos:
Aqui, para cada entre 0 e 1, varia de a .

Passo 6

Vamos calcular a integral interna em relação a :
Integrando termo a termo:
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a de 0 a 1:
Vamos calcular cada parte separadamente:
  1. :
    Usamos integração por partes:
    Então:
  2. :
  3. :
  4. :
Agora, juntando tudo:
Vamos calcular em e :
Para :
Para :
Então, o volume é:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.
Numericamente, isso dá aproximadamente:
ú
Então, o volume é aproximadamente 4,14 unidades cúbicas.

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, onde R é a região que está à esquerda do eixo dentro da circunferência .