Determine o volume do sólido dado:
Abaixo do plano e acima da região limitada por .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está abaixo do plano e acima da região no plano xy limitada pelas curvas e .
Aqui, vamos usar Cálculo de Volumes com Integrais Duplas. Para isso, precisamos:
Entender a região onde vamos calcular o volume.
Expressar a equação do plano para saber a altura do sólido.
Configurar e calcular a integral dupla.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar a equação do plano para encontrar em função de e :
Isso quer dizer que, para cada ponto na região limitada, a altura do sólido até o plano é dada por .
Passo 3
Agora, vamos entender a região no plano xy limitada pelas curvas e .
Para visualizar isso, é útil desenhar os gráficos de (uma função exponencial crescente) e (uma parábola mais achatada). Queremos saber onde essas duas curvas se encontram para definir os limites de integração.
Passo 4
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas resolvendo .
Isso geralmente não tem solução exata fácil, então vamos testar alguns valores de :
Para :
Para :
Para :
Parece que as curvas se cruzam entre e . Para simplificar, vamos considerar variando de 0 a 1 como nossos limites de integração.
Passo 5
Com os limites definidos, vamos configurar a integral dupla para calcular o volume. A fórmula geral para o volume é:
Substituindo , temos:
Aqui, para cada entre 0 e 1, varia de a .
Passo 6
Vamos calcular a integral interna em relação a :
Integrando termo a termo:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a de 0 a 1:
Vamos calcular cada parte separadamente:
:
Usamos integração por partes:
Então:
:
:
:
Agora, juntando tudo:
Vamos calcular em e :
Para :
Para :
Então, o volume é:
Resposta
O volume do sólido é unidades cúbicas.
Numericamente, isso dá aproximadamente:
ú
Então, o volume é aproximadamente 4,14 unidades cúbicas.