Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares: integral duplaR(2 x-y) d A, onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo x^2+y^2 =4 e as retas x=0 e y=x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla: . A região está no primeiro quadrante, limitada pelo círculo e pelas retas e . Vamos usar coordenadas polares para facilitar a integração, já que a região tem simetria circular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas para polares. Em coordenadas polares:
x = r cos(theta)
y = r sin(theta)
E o elemento de área dA = r , dr , dtheta em coordenadas polares é:

Passo 3

Agora, precisamos determinar os limites de integração para e .
  • A região está limitada pelo círculo , que em polares fica .
  • As retas e correspondem, em polares, a e , respectivamente.
Então, varia de a e varia de 0 a 2.

Passo 4

Vamos reescrever a integral em coordenadas polares substituindo integral duplaR(2x - y) , dA = integralpi4^pi2 integral0^2 (2rcos(theta) - rsin(theta)) r , dr , dtheta , = integralpi4^pi2 integral0^2 (2r^2cos(theta) - r^2sin(theta)) , dr , dtheta e :
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 5

Vamos calcular a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a integral0^2 2r^2cos(theta) , dr = 2cos(theta) [r^33]0^2 = 2cos(theta) (83) = 163cos(theta) :
integral0^2 -r^2sin(theta) , dr = -sin(theta) [r^33]0^2 = -sin(theta) (83) = -83sin(theta)
integralpi4^pi2 (163cos(theta) - 83sin(theta)) , dtheta
Agora, juntando tudo:
163 integralpi4^pi2 cos(theta) , dtheta - 83 integralpi4^pi2 sin(theta) , dtheta
Integrando em relação a = 163 [sin(theta)]pi4^pi2 - 83 [-cos(theta)]pi4^pi2 :
= 163 (sin(pi2) - sin(pi4)) - 83 (-cos(pi2) + cos(pi4))
= 163 (1 - raiz22) - 83 (0 + raiz22)
Calculando os valores:
= 163 - 16raiz26 - 8raiz26
= 163 - 24raiz26
Simplificando:
= 163 - 4raiz2

Resposta

O valor da integral é .

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