Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares:
, onde
é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo
as retas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla:
. A região
está no primeiro quadrante, limitada pelo círculo
e pelas retas
e
. Vamos usar coordenadas polares para facilitar a integração, já que a região tem simetria circular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas para polares. Em coordenadas polares:
E o elemento de área
em coordenadas polares é:
Passo 3
Agora, precisamos determinar os limites de integração para
e
.
- A região está limitada pelo círculo
, que em polares fica . - As retas
e correspondem, em polares, a e , respectivamente.
Então,
varia de
a
e
varia de 0 a 2.
Passo 4
Vamos reescrever a integral em coordenadas polares substituindo
,
e
:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 5
Vamos calcular a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, juntando tudo:
Integrando em relação a
:
Calculando os valores:
Simplificando:
Resposta
O valor da integral é
.