Se f satisfaz lim x 0 f(x)x=1, calcule o valor de lim x 0 f(x) e lim x 0 f(5 x)2 x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular dois limites envolvendo uma função que satisfaz a condição . Isso está relacionado ao estudo de limites em cálculo, mais especificamente sobre o comportamento de funções próximas de um ponto. Para resolver, vamos precisar entender como manipular limites e usar propriedades básicas deles.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular limx to 0 f(x)x = 1 . Sabemos que:
f(x)x approx 1 quando x to 0
Isso significa que f(x) approx x quando x to 0 se comporta como limx to 0 f(x) = limx to 0 x = 0 quando está próximo de 0. Se reescrevermos essa expressão, temos:
Multiplicando ambos os lados por :
Então, para encontrar o limite de quando se aproxima de 0, basta calcular o limite de :

Passo 3

Agora, vamos calcular limx to 0 f(5x)5x = 1 . Vamos usar a mesma condição inicial, mas aplicando-a a f(5x)5x approx 1 quando x to 0 em vez de f(5x) approx 5x quando x to 0 :
limx to 0 f(5x)2x approx limx to 0 5x2x
Isso nos diz que:
limx to 0 52 = 52
Multiplicando ambos os lados por :
Agora, substituímos essa aproximação na expressão original do limite:
Simplificando :

Resposta

limx to 0 f(x) = 0 e limx to 0 f(5x)2x = 52

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