Calcule o limite ou mostre que não existe
lim (x, y) (0,0) x y^2x^2+y^4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite da função quando se aproxima de . Estamos lidando com limites de funções de duas variáveis, que envolve entender como a função se comporta quando nos aproximamos do ponto por diferentes caminhos. Para resolver isso, vamos precisar analisar a função ao longo de vários caminhos e verificar se o limite é o mesmo em todos eles.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar o caminho mais simples: deixar x cdot 0^2x^2+0^4 = 0x^2 = 0 e ver o que acontece com a função. Substituindo :
Então, pelo caminho , o limite é 0.

Passo 3

Agora, vamos tentar outro caminho: deixar 0 cdot y^20^2+y^4 = 0y^4 = 0 . Substituindo :
Pelo caminho , o limite também é 0.

Passo 4

Vamos explorar um caminho mais geral, como x cdot (x^k)^2x^2 + (x^k)^4 = x cdot x^2kx^2 + x^4k = x^1 + 2kx^2 + x^4k , onde x^1 + 2kx^2(1 + x^4k - 2) = x^1 + 2k - 21 + x^4k - 2 = x^2k - 11 + x^4k - 2 é um número positivo. Substituindo na função:
Para simplificar, fatoramos no denominador:
Queremos que para que o numerador vá para 0. Isso acontece quando . Então, para , o limite é 0.

Passo 5

Vamos verificar se existe algum caminho que dá um limite diferente de 0. Por exemplo, tentemos x cdot (x^1/2)^2x^2 + (x^1/2)^4 = x cdot xx^2 + x^2 = x^22x^2 = 12 . Substituindo :
Nesse caminho, o limite é , que é diferente de 0!

Resposta

O limite não existe, pois ao nos aproximarmos de por diferentes caminhos obtemos limites distintos.

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