Calcule o limite ou mostre que não existe
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite da função
quando
se aproxima de
. Estamos lidando com limites de funções de duas variáveis, que envolve entender como a função se comporta quando nos aproximamos do ponto
por diferentes caminhos. Para resolver isso, vamos precisar analisar a função ao longo de vários caminhos e verificar se o limite é o mesmo em todos eles.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar o caminho mais simples: deixar
e ver o que acontece com a função. Substituindo
:
Então, pelo caminho
, o limite é 0.
Passo 3
Agora, vamos tentar outro caminho: deixar
. Substituindo
:
Pelo caminho
, o limite também é 0.
Passo 4
Vamos explorar um caminho mais geral, como
, onde
é um número positivo. Substituindo
na função:
Para simplificar, fatoramos
no denominador:
Queremos que
para que o numerador vá para 0. Isso acontece quando
. Então, para
, o limite é 0.
Passo 5
Vamos verificar se existe algum caminho que dá um limite diferente de 0. Por exemplo, tentemos
. Substituindo
:
Nesse caminho, o limite é
, que é diferente de 0!
Resposta
O limite não existe, pois ao nos aproximarmos de
por diferentes caminhos obtemos limites distintos.