Determine se a função f f é contínua
f(x, y) = { ((x^2 + y^2)^2) / (x^4 + y^4), (x, y) ≠ (0, 0) \\ 1, (x, y) = (0, 0) }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a função é contínua. A matéria que vamos usar aqui é continuidade de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar calcular o limite da função quando se aproxima de e verificar se esse limite é igual ao valor da função em , que é 1.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função:
Queremos ver o que acontece com quando se aproxima de .

Passo 3

Para facilitar, vamos mudar para coordenadas polares. Isso simplifica a análise de limites em duas variáveis. Nas coordenadas polares, temos:
Onde é a distância até a origem e é o ângulo.

Passo 4

Substituindo e na função , temos:
Simplificando o numerador:
Então,

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite quando tende a 0:
Perceba que o termo não depende de , apenas de . Portanto, o limite depende do ângulo .

Passo 6

Para que o limite exista, ele deve ser o mesmo independente de como se aproxima de . Vamos verificar valores específicos de :
  • Para (aproximando-se pelo eixo ):
  • Para (aproximando-se ao longo da linha ):

Passo 7

Observamos que o limite depende do caminho escolhido para se aproximar de . Já vimos que ao se aproximar pelo eixo , o limite é 1, e ao se aproximar pela linha , o limite é 2. Como os limites são diferentes, concluímos que o limite geral não existe.

Resposta

Como o limite da função quando se aproxima de não é único, a função não é contínua em .

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