Determine se a função
é contínua
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a função
é contínua. A matéria que vamos usar aqui é continuidade de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar calcular o limite da função
quando
se aproxima de
e verificar se esse limite é igual ao valor da função em
, que é 1.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função:
Queremos ver o que acontece com
quando
se aproxima de
.
Passo 3
Para facilitar, vamos mudar para coordenadas polares. Isso simplifica a análise de limites em duas variáveis. Nas coordenadas polares, temos:
Onde
é a distância até a origem e
é o ângulo.
Passo 4
Substituindo
e
na função
, temos:
Simplificando o numerador:
Então,
Passo 5
Agora, vamos analisar o limite quando
tende a 0:
Perceba que o termo
não depende de
, apenas de
. Portanto, o limite depende do ângulo
.
Passo 6
Para que o limite exista, ele deve ser o mesmo independente de como
se aproxima de
. Vamos verificar valores específicos de
:
- Para
(aproximando-se pelo eixo ):
- Para
(aproximando-se ao longo da linha ):
Passo 7
Observamos que o limite depende do caminho escolhido para se aproximar de
. Já vimos que ao se aproximar pelo eixo
, o limite é 1, e ao se aproximar pela linha
, o limite é 2. Como os limites são diferentes, concluímos que o limite geral não existe.
Resposta
Como o limite da função
quando
se aproxima de
não é único, a função
não é contínua em
.