Calcule o limite ou mostre que não existe lim (x, y) (0,0) (e^x-1)^2+2 e^x y^2cosh (x)-1+y^2

Passo 1

Vamos calcular o limite . Esse problema está relacionado a limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como as funções se comportam quando e se aproximam de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar as expressões no numerador e no denominador usando aproximações para e^x approx 1 + x + x^22 e cosh(x) approx 1 + x^22 quando está próximo de zero.
Sabemos que:

Passo 3

Substituindo essas aproximações no numerador:
(e^x - 1)^2 + 2e^xy^2 approx (x + x^22)^2 + 2(1 + x + x^22)y^2
Expandindo:
x^2 + x^3 + x^44 + 2y^2 + 2xy^2 + x^2y^2

Passo 4

E no denominador:
cosh(x) - 1 + y^2 approx x^22 + y^2

Passo 5

Agora, observamos os termos de maior relevância quando x^2 + 2y^2x^22 + y^2 e tendem a zero. Assim, podemos simplificar o numerador e o denominador considerando apenas os termos principais:

Passo 6

Para analisar o limite, consideramos diferentes caminhos pelos quais x^2 + 2k^2x^2x^22 + k^2x^2 = 1 + 2k^212 + k^2 se aproximam de . Vamos supor que , onde é uma constante qualquer.
Substituindo na expressão simplificada:

Passo 7

Observamos que o valor do limite depende do valor de . Como diferentes valores de levam a diferentes resultados, o limite varia conforme o caminho escolhido para se aproximar de .

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados