Calcule a integral dada colocando-a em coordenadas polares.
; onde
é a região do primeiro quadrante compreendido entre os círculos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! A gente precisa calcular a integral
, onde
é a região do primeiro quadrante entre os círculos
e
. Para isso, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis quando estamos lidando com círculos. As coordenadas polares transformam
em
, onde
é a distância até a origem e
é o ângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. Como estamos no primeiro quadrante, o ângulo
vai de
a
(90 graus). Os círculos dados têm raios
e
, então o raio
varia de
a
. Em coordenadas polares,
e
.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a integral em coordenadas polares. Lembrando que o elemento de área
em polares é
, a integral fica:
Simplificando os termos:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna em relação a
primeiro:
Então, nossa integral agora fica:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral em relação a
. Uma maneira fácil de integrar
é usar a substituição. Vamos chamar
, então
. A integral fica:
Aplicando os limites de
a
:
Resposta
Multiplicando tudo, temos:
Então, o valor da integral é 76,125.