Calcule a integral dada colocando-a em coordenadas polares. integral duplaR x y d A; onde R é a região do primeiro quadrante compreendido entre os círculos x^2+y^2=4 e x^2+y^2=25.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! A gente precisa calcular a integral integral duplaR x y , dA, onde R é a região do primeiro quadrante entre os círculos x^2+y^2=4 e x^2+y^2=25. Para isso, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis quando estamos lidando com círculos. As coordenadas polares transformam (x, y) em (r, theta), onde r é a distância até a origem e theta é o ângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. Como estamos no primeiro quadrante, o ângulo theta vai de 0 a pi2 (90 graus). Os círculos dados têm raios raiz4 = 2 e raiz25 = 5, então o raio r varia de 2 a 5. Em coordenadas polares, x = r costheta e y = r sintheta.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral em coordenadas polares. Lembrando que o elemento de área dA em polares é r , dr , dtheta, a integral fica:
integral duplaR x y , dA = integral0^pi2 integral2^5 (r costheta)(r sintheta) cdot r , dr , dtheta
Simplificando os termos:
= integral0^pi2 integral2^5 r^3 costheta sintheta , dr , dtheta

Passo 4

Vamos resolver a integral interna em relação a r primeiro:
integral2^5 r^3 , dr = [ r^44 ]2^5 = 5^44 - 2^44 = 6254 - 164 = 6094
Então, nossa integral agora fica:
6094 integral0^pi2 costheta sintheta , dtheta

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral em relação a theta. Uma maneira fácil de integrar costheta sintheta é usar a substituição. Vamos chamar u = sintheta, então du = costheta , dtheta. A integral fica:
integral costheta sintheta , dtheta = integral u , du = u^22 + C = sin^2theta2 + C
Aplicando os limites de 0 a pi2:
[ sin^2theta2 ]0^pi2 = sin^2(pi2)2 - sin^2(0)2 = 12 - 0 = 12

Resposta

Multiplicando tudo, temos:
6094 cdot 12 = 6098 = 76,125
Então, o valor da integral é 76,125.

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