Calcule a integral dada colocando-a em coordenadas polares. ; onde é a região do primeiro quadrante compreendido entre os círculos e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! A gente precisa calcular a integral , onde é a região do primeiro quadrante entre os círculos e . Para isso, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis quando estamos lidando com círculos. As coordenadas polares transformam em , onde é a distância até a origem e é o ângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. Como estamos no primeiro quadrante, o ângulo vai de a (90 graus). Os círculos dados têm raios e , então o raio varia de a . Em coordenadas polares, e .

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral em coordenadas polares. Lembrando que o elemento de área em polares é , a integral fica:
Simplificando os termos:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna em relação a primeiro:
Então, nossa integral agora fica:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral em relação a . Uma maneira fácil de integrar é usar a substituição. Vamos chamar , então . A integral fica:
Aplicando os limites de a :

Resposta

Multiplicando tudo, temos:
Então, o valor da integral é 76,125.

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