Determine as equaçóes do plano tangente e da reta normal ao gráfico da fungao
dada por
no ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai resolver um exercício de cálculo que envolve encontrar as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico de uma função. A função que estamos trabalhando é
, e o ponto de interesse é
. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais e entender como elas ajudam a determinar o plano tangente e a reta normal.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor de
. Substituindo
e
na função:
Então, o ponto no gráfico é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
, ou seja,
e
. Essas derivadas nos ajudarão a determinar a inclinação do plano tangente.
Primeiro, a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Vamos avaliar essas derivadas no ponto
.
Primeiro,
:
Agora,
:
Passo 5
Com
e
calculados, podemos escrever a equação do plano tangente. A fórmula geral é:
Substituindo
,
, e os valores que encontramos:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a reta normal ao gráfico no ponto dado. A reta normal é definida pelo vetor gradiente da função no ponto, que é
. Já sabemos que
e
.
A equação paramétrica da reta normal é:
Resposta
As equações solicitadas são:
Plano Tangente:
Reta Normal: