Determine as equaçóes do plano tangente e da reta normal ao gráfico da fungao dada por no ponto

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai resolver um exercício de cálculo que envolve encontrar as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico de uma função. A função que estamos trabalhando é , e o ponto de interesse é . Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais e entender como elas ajudam a determinar o plano tangente e a reta normal.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor de . Substituindo e na função:
Então, o ponto no gráfico é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e , ou seja, e . Essas derivadas nos ajudarão a determinar a inclinação do plano tangente.
Primeiro, a derivada parcial de em relação a :
Agora, a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas no ponto .
Primeiro, :
Agora, :

Passo 5

Com e calculados, podemos escrever a equação do plano tangente. A fórmula geral é:
Substituindo , , e os valores que encontramos:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a reta normal ao gráfico no ponto dado. A reta normal é definida pelo vetor gradiente da função no ponto, que é . Já sabemos que e .
A equação paramétrica da reta normal é:

Resposta

As equações solicitadas são:
Plano Tangente:
Reta Normal:

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Calcule a integral dada colocando-a em coordenadas polares. ; onde é a região do primeiro quadrante compreendido entre os círculos e .
Calcule o vetor divergente da função .