Determine o volume do sólido limitado pela superfície pelos planos .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido limitado pela superfície e pelos planos , , , e . Para isso, vamos usar o conceito de integrais duplas, que permitem calcular volumes de regiões no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as fronteiras do nosso sólido. Os planos e limitam o intervalo de de 0 a 1. Já e limitam também de 0 a 1. A superfície nos dá a altura do sólido em cada ponto . Como queremos o volume, vamos integrar essa altura sobre a região e .
Passo 3
Vamos montar a integral dupla para calcular o volume. A fórmula geral para o volume é:
Substituindo , temos:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna, que é em relação a . Para facilitar, vamos fazer uma substituição:
Seja , então .
Quando , .
Quando , .
A integral interna fica:
Integrando , que é , temos:
Aplicando os limites:
Passo 5
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a de 0 a 1: