Determine o volume do sólido limitado pela superfície pelos planos .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido limitado pela superfície e pelos planos , , , e . Para isso, vamos usar o conceito de integrais duplas, que permitem calcular volumes de regiões no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as fronteiras do nosso sólido. Os planos e limitam o intervalo de de 0 a 1. Já e limitam também de 0 a 1. A superfície nos dá a altura do sólido em cada ponto . Como queremos o volume, vamos integrar essa altura sobre a região e .

Passo 3

Vamos montar a integral dupla para calcular o volume. A fórmula geral para o volume é:
Substituindo , temos:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna, que é em relação a . Para facilitar, vamos fazer uma substituição:
Seja , então .
Quando , .
Quando , .
A integral interna fica:
Integrando , que é , temos:
Aplicando os limites:

Passo 5

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a de 0 a 1:
Essa integral pode ser resolvida separadamente:
Para a primeira parte, fazemos a substituição , :
Para a segunda parte:
Substituindo de volta:
Calculando :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Resolva as integrais abaixo:
Considere , onde sen ). Calcule o divergente e o rotacional, para .
Determine as equaçóes do plano tangente e da reta normal ao gráfico da fungao dada por no ponto
Calcule a integral dada colocando-a em coordenadas polares. ; onde é a região do primeiro quadrante compreendido entre os círculos e .