Calcule a integral dada colocando-a em coordenadas polares:
integral duplaR d A; onde R é a região delimitada por 4(x-3)^2+(y-2)^2= 4. Interprete geometricamente.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla integral duplaR dA, onde R é a região delimitada pela equação 4(x-3)^2 + (y-2)^2 = 4. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente integração em coordenadas polares. Para resolver, vamos converter a equação da região para coordenadas polares e depois calcular a integral.

Passo 2

Vamos começar analisando a equação que delimita a região R:
4(x-3)^2 + (y-2)^2 = 4
Essa é a equação de uma elipse com centro em (3, 2). Para facilitar a integração em coordenadas polares, é conveniente realizar uma mudança de coordenadas que centralize a elipse na origem. Vamos fazer uma translação:
Definimos:
x' = x - 3 y' = y - 2
Substituindo na equação da elipse:
4x'^2 + y'^2 = 4
Agora, a elipse está centrada na origem (0,0) nos novos coordenadas (x', y').

Passo 3

Em coordenadas polares, as coordenadas cartesianas (x', y') são relacionadas por:
x' = r costheta y' = r sintheta
Substituindo na equação da elipse:
4(r costheta)^2 + (r sintheta)^2 = 4 4r^2 cos^2theta + r^2 sin^2theta = 4 r^2(4cos^2theta + sin^2theta) = 4 r^2 = 44cos^2theta + sin^2theta r = raiz44cos^2theta + sin^2theta

Passo 4

Para calcular a integral em coordenadas polares, lembramos que o elemento de área dA em polares é dado por r, dr, dtheta. Então, a integral se transforma em:
integral duplaR dA = integraltheta=0^2pi integralr=0^raiz44cos^2theta + sin^2theta r, dr, dtheta

Passo 5

Vamos calcular a integral interna em relação a r:
integral0^raiz44cos^2theta + sin^2theta r, dr = [ r^22 ]0^raiz44cos^2theta + sin^2theta = 12 cdot 44cos^2theta + sin^2theta = 24cos^2theta + sin^2theta

Passo 6

Agora, a integral se reduz a:
integral duplaR dA = integral0^2pi 24cos^2theta + sin^2theta dtheta
Para resolver essa integral, podemos simplificar o denominador:
4cos^2theta + sin^2theta = 3cos^2theta + 1
Então, a integral fica:
integral duplaR dA = integral0^2pi 23cos^2theta + 1 dtheta

Passo 7

Utilizando uma substituição trigonométrica ou integrando diretamente, encontramos que:
integral0^2pi 23cos^2theta + 1 dtheta = 4piraiz3

Resposta

A integral integral duplaR dA vale dfrac4piraiz3.

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