Calcule a integral dada colocando-a em coordenadas polares:
; onde
é a região delimitada por
4. Interprete geometricamente.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla
, onde
é a região delimitada pela equação
. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente integração em coordenadas polares. Para resolver, vamos converter a equação da região para coordenadas polares e depois calcular a integral.
Passo 2
Vamos começar analisando a equação que delimita a região
:
Essa é a equação de uma elipse com centro em
. Para facilitar a integração em coordenadas polares, é conveniente realizar uma mudança de coordenadas que centralize a elipse na origem. Vamos fazer uma translação:
Definimos:
Substituindo na equação da elipse:
Agora, a elipse está centrada na origem
nos novos coordenadas
.
Passo 3
Em coordenadas polares, as coordenadas cartesianas
são relacionadas por:
Substituindo na equação da elipse:
Passo 4
Para calcular a integral em coordenadas polares, lembramos que o elemento de área
em polares é dado por
. Então, a integral se transforma em:
Passo 5
Vamos calcular a integral interna em relação a
:
Passo 6
Agora, a integral se reduz a:
Para resolver essa integral, podemos simplificar o denominador:
Então, a integral fica:
Passo 7
Utilizando uma substituição trigonométrica ou integrando diretamente, encontramos que:
Resposta
A integral
vale
.