Calcule a integral iterada:
integral0^1 integralx^2^raizx 2 x y d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral iterada aqui: . Esse problema está na área de cálculo integral, especificamente envolvendo integrais duplas. A gente vai precisar entender como integrar primeiro em relação a e depois em relação a , usando as técnicas de integração que a gente já conhece.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte interna da integral, que é . Aqui, estamos integrando a função em relação a , mantendo como uma constante.

Passo 3

Para integrar integral 2xy , dy = 2x cdot 12 y^2 = x y^2 em relação a , tratamos como um coeficiente constante. A integral de em relação a é . Então:

Passo 4

Agora, vamos avaliar essa integral definida nos limites de x (raizx)^2 - x (x^2)^2 = x cdot x - x cdot x^4 = x^2 - x^5 até :

Passo 5

Agora que resolvemos a integral interna, devemos substituir esse resultado na integral externa. Então, temos:
integral0^1 (x^2 - x^5) , dx

Passo 6

Vamos integrar integral (x^2 - x^5) , dx = 13x^3 - 16x^6 em relação a . A integral de é e a integral de é . Então:

Passo 7

Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de ( 13(1)^3 - 16(1)^6 ) - ( 13(0)^3 - 16(0)^6 ) = 13 - 16 = 16 até :

Resposta

O valor da integral iterada é .

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