Obter as soluções gerais das EDO de 1^a ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
e) (x^2 + y^2) dx + 3xy dy = 0;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) de 1ª ordem. A equação que vamos resolver é:
Vamos precisar usar conceitos de equações exatas para encontrar a solução geral dessa EDO. Vamos resolver passo a passo para deixar tudo bem claro!

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação dada é exata. Uma equação diferencial da forma é exata se satisfizer:
Vamos identificar M e N na nossa equação:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
Comparando as duas:
Como , a equação não é exata. Isso significa que precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 3

Vamos tentar encontrar um fator integrante que depende apenas de x ou apenas de y. Vamos supor que o fator integrante seja uma função de x, ou seja, mu(x).
Para que a equação se torne exata após multiplicarmos por mu(x), a seguinte condição deve ser satisfeita:
Vamos calcular essa expressão:
Portanto, a equação para mu(x) fica:
Essa é uma equação diferencial para mu(x) que podemos resolver.

Passo 4

Vamos resolver a equação diferencial para mu(x):
Podemos reescrever isso como:
Essa é uma equação separável. Vamos separar as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Podemos eliminar a constante C (já que será incorporada na solução geral) e resolver para mu:
Então, o fator integrante é:

Passo 5

Agora, multiplicamos a equação original pelo fator integrante mu(x):
Simplificando:
Agora, a equação modificada deve ser exata. Vamos verificar novamente:
Calculando as derivadas parciais:
Agora, , então a equação é exata!

Passo 6

Como a equação é exata, existe uma função potencial tal que:
Vamos encontrar integrando M(x, y) em relação a x:
Onde é uma função de y que aparece na integração. Agora, vamos derivar em relação a y e igualar a N(x, y) para encontrar :
Igualando a :
Integrando , temos , onde C é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da EDO é:
Onde C é uma constante arbitrária.

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