Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
e)
;
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) de 1ª ordem. A equação que vamos resolver é:
Vamos precisar usar conceitos de equações exatas para encontrar a solução geral dessa EDO. Vamos resolver passo a passo para deixar tudo bem claro!
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação dada é exata. Uma equação diferencial da forma
é exata se satisfizer:
Vamos identificar
e
na nossa equação:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
Comparando as duas:
Como
, a equação não é exata. Isso significa que precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 3
Vamos tentar encontrar um fator integrante que depende apenas de
ou apenas de
. Vamos supor que o fator integrante seja uma função de
, ou seja,
.
Para que a equação se torne exata após multiplicarmos por
, a seguinte condição deve ser satisfeita:
Vamos calcular essa expressão:
Portanto, a equação para
fica:
Essa é uma equação diferencial para
que podemos resolver.
Passo 4
Vamos resolver a equação diferencial para
:
Podemos reescrever isso como:
Essa é uma equação separável. Vamos separar as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Podemos eliminar a constante
(já que será incorporada na solução geral) e resolver para
:
Então, o fator integrante é:
Passo 5
Agora, multiplicamos a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Agora, a equação modificada deve ser exata. Vamos verificar novamente:
Calculando as derivadas parciais:
Agora,
, então a equação é exata!
Passo 6
Como a equação é exata, existe uma função potencial
tal que:
Vamos encontrar
integrando
em relação a
:
Onde
é uma função de
que aparece na integração. Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
para encontrar
:
Igualando a
:
Integrando
, temos
, onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Calcule a integral dada colocando-a em coordenadas polares:
; onde
é a região delimitada por
4. Interprete geometricamente.
Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
c) ;
c)
Determine quais das sequências abaixo são crescentes e quais são decrescentes; quais são limitadas?
(a)
(a)
Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
d) ;
d)