Obter as soluções gerais das EDO de ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
c) ;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem:
Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa EDO e verificar se a solução encontrada está correta. Para isso, vamos usar conceitos de equações exatas e fatores integrantes.

Passo 2

Vamos identificar os termos da nossa EDO na forma padrão:
Aqui, temos:

Passo 3

Uma EDO é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a . Vamos conferir:
Como , a equação não é exata inicialmente.

Passo 4

Para tornar a equação exata, precisamos encontrar um fator integrante que, quando multiplicado na EDO, satisfaça a condição de exatidão. Vamos tentar encontrar um fator integrante que depende apenas de .
Assumimos que o fator integrante é . Multiplicando a EDO por , temos:
Para que a equação seja exata, deve-se cumprir:

Passo 5

Calculando as derivadas parciais:
Igualando as duas expressões:
Simplificando:
Essa é uma equação diferencial para . Podemos resolvê-la separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Onde é uma constante. Podemos escolher para simplificar, então:

Passo 6

Agora, multiplicamos a EDO original pelo fator integrante :
Verificando se a equação agora é exata:
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação é exata.

Passo 7

Agora, vamos encontrar a função potencial tal que:
Integrando em relação a :

Passo 8

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Comparando com :
Integrando em relação a :

Passo 9

Substituindo na expressão de :
Como é constante na solução geral, temos:

Resposta

A solução geral da EDO é dada por:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Calcule a integral iterada:
Obter as soluções gerais das EDO de ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
n) ;
Calcule a integral dada colocando-a em coordenadas polares:
; onde é a região delimitada por 4. Interprete geometricamente.
Obter as soluções gerais das EDO de ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
e) ;