Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
c)
;
c)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem:
Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa EDO e verificar se a solução encontrada está correta. Para isso, vamos usar conceitos de equações exatas e fatores integrantes.
Passo 2
Vamos identificar os termos da nossa EDO na forma padrão:
Aqui, temos:
Passo 3
Uma EDO é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
. Vamos conferir:
Como
, a equação não é exata inicialmente.
Passo 4
Para tornar a equação exata, precisamos encontrar um fator integrante que, quando multiplicado na EDO, satisfaça a condição de exatidão. Vamos tentar encontrar um fator integrante que depende apenas de
.
Assumimos que o fator integrante é
. Multiplicando a EDO por
, temos:
Para que a equação seja exata, deve-se cumprir:
Passo 5
Calculando as derivadas parciais:
Igualando as duas expressões:
Simplificando:
Essa é uma equação diferencial para
. Podemos resolvê-la separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Onde
é uma constante. Podemos escolher
para simplificar, então:
Passo 6
Agora, multiplicamos a EDO original pelo fator integrante
:
Verificando se a equação agora é exata:
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 7
Agora, vamos encontrar a função potencial
tal que:
Integrando
em relação a
:
Passo 8
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Comparando com
:
Integrando em relação a
:
Passo 9
Substituindo
na expressão de
:
Como
é constante na solução geral, temos:
Resposta
A solução geral da EDO é dada por:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Calcule a integral iterada:
Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
n) ;
n)
Calcule a integral dada colocando-a em coordenadas polares:
; onde
é a região delimitada por
4. Interprete geometricamente.
Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
e) ;
e)