Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
integral duplaR(2 x-y) d A, onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo x^2+y^2=4 e as retas x=0 e y=x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla integral duplaR(2x - y) , dA, onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo x^2 + y^2 = 4 e pelas retas x=0 e y=x. Vamos usar coordenadas polares para simplificar a área de integração. Para isso, precisamos entender como converter as equações para coordenadas polares e determinar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como transformar as coordenadas cartesianas (x, y) em coordenadas polares (r, theta). As relações são:
x = r cos theta
y = r sin theta
dA = r , dr , dtheta
Essas fórmulas nos ajudam a converter a integral para o sistema polar.

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração. A região R está no primeiro quadrante, então theta vai de 0 a pi4, já que a reta y = x corresponde a theta = pi4. O raio r vai de 0 até a fronteira do círculo x^2 + y^2 = 4, que em coordenadas polares é r = 2.

Passo 4

Vamos reescrever a função 2x - y em coordenadas polares:
2x - y = 2(r cos theta) - r sin theta = r(2 cos theta - sin theta)
Substituindo na integral original e incluindo o elemento de área em coordenadas polares, temos:
integral duplaR(2x - y) , dA = integral0^pi4 integral0^2 r(2 cos theta - sin theta) cdot r , dr , dtheta = integral0^pi4 integral0^2 r^2(2 cos theta - sin theta) , dr , dtheta

Passo 5

Vamos primeiro integrar em relação a r. A integral interna é:
integral0^2 r^2(2 cos theta - sin theta) , dr = (2 cos theta - sin theta) integral0^2 r^2 , dr
Calculando a integral de r^2:
integral0^2 r^2 , dr = [ r^33 ]0^2 = 83
Então, a integral fica:
(2 cos theta - sin theta) cdot 83 = 83(2 cos theta - sin theta)

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a theta:
integral0^pi4 83(2 cos theta - sin theta) , dtheta = 83 [ 2 integral0^pi4 cos theta , dtheta - integral0^pi4 sin theta , dtheta ]
Calculando cada integral:
integral cos theta , dtheta = sin theta
integral sin theta , dtheta = -cos theta
Aplicando os limites:
2 [ sin ( pi4 ) - sin(0) ] - [ -cos ( pi4 ) + cos(0) ] = 2 ( raiz22 - 0 ) - ( -raiz22 + 1 )
Simplificando:
2 cdot raiz22 - ( -raiz22 + 1 ) = raiz2 + raiz22 - 1 = 3raiz22 - 1

Passo 7

Multiplicando pelo fator 83:
83 ( 3raiz22 - 1 ) = 83 cdot 3raiz22 - 83 cdot 1 = 4raiz2 - 83

Resposta

A integral avaliada em coordenadas polares é 4raiz2 - dfrac83.

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