Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
, onde
é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo
e as retas
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral dupla
, onde
é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo
e pelas retas
e
. Vamos usar coordenadas polares para simplificar a área de integração. Para isso, precisamos entender como converter as equações para coordenadas polares e determinar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como transformar as coordenadas cartesianas
em coordenadas polares
. As relações são:
Essas fórmulas nos ajudam a converter a integral para o sistema polar.
Passo 3
Agora, vamos identificar os limites de integração. A região
está no primeiro quadrante, então
vai de
a
, já que a reta
corresponde a
. O raio
vai de
até a fronteira do círculo
, que em coordenadas polares é
.
Passo 4
Vamos reescrever a função
em coordenadas polares:
Substituindo na integral original e incluindo o elemento de área em coordenadas polares, temos:
Passo 5
Vamos primeiro integrar em relação a
. A integral interna é:
Calculando a integral de
:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar em relação a
:
Calculando cada integral:
Aplicando os limites:
Simplificando:
Passo 7
Multiplicando pelo fator
:
Resposta
A integral avaliada em coordenadas polares é
.