Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
, onde é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo e as retas e

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla , onde é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo e pelas retas e . Vamos usar coordenadas polares para simplificar a área de integração. Para isso, precisamos entender como converter as equações para coordenadas polares e determinar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como transformar as coordenadas cartesianas em coordenadas polares . As relações são:
Essas fórmulas nos ajudam a converter a integral para o sistema polar.

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração. A região está no primeiro quadrante, então vai de a , já que a reta corresponde a . O raio vai de até a fronteira do círculo , que em coordenadas polares é .

Passo 4

Vamos reescrever a função em coordenadas polares:
Substituindo na integral original e incluindo o elemento de área em coordenadas polares, temos:

Passo 5

Vamos primeiro integrar em relação a . A integral interna é:
Calculando a integral de :
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a :
Calculando cada integral:
Aplicando os limites:
Simplificando:

Passo 7

Multiplicando pelo fator :

Resposta

A integral avaliada em coordenadas polares é .

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