Nos exercicios 23-34, encontre
e
Passo 1
No exercício, precisamos encontrar o produto
e a derivada parcial
da função
. Vamos usar as regras de derivação para funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
, que é a derivada parcial de
em relação a
. Para isso, usamos a regra da cadeia. A função
pode ser reescrita como
, onde
.
A derivada de
em relação a
é:
Calculando
:
Portanto,
Passo 3
Agora, vamos calcular
, que é a derivada parcial de
em relação a
. Seguindo o mesmo processo:
Calculando
:
Portanto,
Passo 4
Agora, vamos encontrar o produto
. Assumindo que
corresponde a
, temos:
Multiplicando os termos:
Resposta
Portanto,
e
Exercícios relacionados
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
, onde
é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo
e as retas
e
Resolver as seguintes equações diferenciais de variáveis separáveis.
sen
sen
Equação de Ricatti: A equação
onde
e
são funções contínuas em algum intervalo I da reta real e
em I , é conhecida como equação de Ricatti. Seja
uma solução particular dessa equação. Considere então a mudança de variável
.
Deduza de (a) que a solução geral de uma equa- ção de Ricatti pode ser encontrada, desde que se conheça uma solução particular. Explicite tal solução em termos da solução particular.
Deduza de (a) que a solução geral de uma equa- ção de Ricatti pode ser encontrada, desde que se conheça uma solução particular. Explicite tal solução em termos da solução particular.
(Equações de Riccati) A equação
é conhecida como a equação de Riccati. Suponhamos que uma certa solução
desta equação é conhecida. Uma solução mais geral, com uma constante arbitrária, pode ser conseguida pela substituição
Considere a equação de Riccati
Verifique que
é uma solução da equação. Em seguida, utilize as informações do item (a) para resolver a equação.