Equação de Ricatti: A equação
y' + p(t) y + q(t) y^2 = f(t)
onde p(t), q(t) e f(t) são funções contínuas em algum intervalo I da reta real e q(t) != 0 em I , é conhecida como equação de Ricatti. Seja y1(t) uma solução particular dessa equação. Considere então a mudança de variável y(t) = y1(t) + 1/z(t).
Deduza de (a) que a solução geral de uma equa- ção de Ricatti pode ser encontrada, desde que se conheça uma solução particular. Explicite tal solução em termos da solução particular.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a Equação de Riccati, que é uma equação diferencial do tipo:
Aqui, p(t), q(t) e f(t) são funções contínuas em algum intervalo I da reta real, e q(t) <> 0 nesse intervalo. A gente tem uma solução particular dessa equação, chamada y1(t). Nosso objetivo é encontrar a solução geral da equação de Riccati usando essa solução particular. Para isso, vamos usar uma mudança de variável onde definimos:
Vamos seguir os passos para descobrir essa solução geral!

Passo 2

Primeiro, vamos substituir y(t) na equação de Riccati pela expressão dada:
Isso significa que a derivada de y(t) será:
Agora, vamos substituir y(t) e y'(t) na equação original.

Passo 3

Substituindo na equação de Riccati:
Vamos expandir e simplificar essa expressão.

Passo 4

Expandindo o termo quadrático:
Substituindo de volta na equação:

Passo 5

Sabemos que y1(t) é uma solução particular, então ela satisfaz a equação:
Vamos subtrair essa expressão da equação que obtivemos:

Passo 6

Multiplicando tudo por z^2 para simplificar:
Rearranjando os termos:
Essa é uma equação diferencial linear em z(t).

Passo 7

Agora, vamos resolver a equação linear para z(t):
Podemos usar o fator integrante para resolver essa equação. O fator integrante é dado por:
Multiplicando a equação pela :
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Onde C é a constante de integração. Portanto:

Passo 8

Finalmente, lembrando da mudança de variável:
Substituindo z(t):

Resposta

A solução geral da equação de Riccati é dada por:
Onde y1(t) é uma solução particular e C é a constante de integração.

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