Equação de Ricatti: A equação
onde
e
são funções contínuas em algum intervalo I da reta real e
em I , é conhecida como equação de Ricatti. Seja
uma solução particular dessa equação. Considere então a mudança de variável
.
Deduza de (a) que a solução geral de uma equa- ção de Ricatti pode ser encontrada, desde que se conheça uma solução particular. Explicite tal solução em termos da solução particular.
Deduza de (a) que a solução geral de uma equa- ção de Ricatti pode ser encontrada, desde que se conheça uma solução particular. Explicite tal solução em termos da solução particular.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a Equação de Riccati, que é uma equação diferencial do tipo:
Aqui,
,
e
são funções contínuas em algum intervalo
da reta real, e
nesse intervalo. A gente tem uma solução particular dessa equação, chamada
. Nosso objetivo é encontrar a solução geral da equação de Riccati usando essa solução particular. Para isso, vamos usar uma mudança de variável onde definimos:
Vamos seguir os passos para descobrir essa solução geral!
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
na equação de Riccati pela expressão dada:
Isso significa que a derivada de
será:
Agora, vamos substituir
e
na equação original.
Passo 3
Substituindo na equação de Riccati:
Vamos expandir e simplificar essa expressão.
Passo 4
Expandindo o termo quadrático:
Substituindo de volta na equação:
Passo 5
Sabemos que
é uma solução particular, então ela satisfaz a equação:
Vamos subtrair essa expressão da equação que obtivemos:
Passo 6
Multiplicando tudo por
para simplificar:
Rearranjando os termos:
Essa é uma equação diferencial linear em
.
Passo 7
Agora, vamos resolver a equação linear para
:
Podemos usar o fator integrante para resolver essa equação. O fator integrante é dado por:
Multiplicando a equação pela
:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Portanto:
Passo 8
Finalmente, lembrando da mudança de variável:
Substituindo
:
Resposta
A solução geral da equação de Riccati é dada por:
Onde
é uma solução particular e
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Nos exercicios 23-34, encontre
e
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
, onde
é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo
e as retas
e
(Equações de Riccati) A equação
é conhecida como a equação de Riccati. Suponhamos que uma certa solução
desta equação é conhecida. Uma solução mais geral, com uma constante arbitrária, pode ser conseguida pela substituição
Considere a equação de Riccati
Verifique que
é uma solução da equação. Em seguida, utilize as informações do item (a) para resolver a equação.
Suponha que a temperatura ambiente é igual a
e que a temperatura
de um corpo depende apenas do tempo
. A lei do resfriamento de Newton afirma que a taxa de variação da temperatura do corpo é proporcional à sua diferença com a temperatura ambiente. Com base nisto, resolva os itens que se seguem.
Verifique que a temperatura satisfaz a equação
Verifique que a temperatura
onde
é uma constante. Qual é o significado do sinal de menos do lado direito da igualdade?