Resolver as seguintes equações diferenciais de variáveis separáveis.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Esse exercício está dentro do conteúdo de equações diferenciais de variáveis separáveis, que são aquelas onde conseguimos separar as variáveis e de lados diferentes da equação para facilitar a resolução. Vamos precisar aplicar a técnica de separação de variáveis e integrar ambos os lados para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar os e mais evidentes. A equação dada é:
Podemos rearranjar para isolarmos de um lado:

Passo 3

Agora, a ideia é separar as variáveis e . Para isso, dividimos ambos os lados da equação por :
Assim, conseguimos deixar todos os termos com de um lado e os termos com do outro lado.

Passo 4

Em seguida, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo será em relação a e a do lado direito em relação a :

Passo 5

Vamos resolver cada integral:
  1. Integral do lado esquerdo:
Sabemos que
  1. Integral do lado direito:

Passo 6

Igualando as integrais:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Podemos resolver essa expressão para se quisermos deixar a solução explícita:
Multiplicando ambos os lados por :
Renomeando para (já que é apenas uma constante):
Agora, invertendo ambos os lados:
Finalmente, isolamos :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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