Resolver as seguintes equações diferenciais de variáveis separáveis.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Esse exercício está dentro do conteúdo de equações diferenciais de variáveis separáveis, que são aquelas onde conseguimos separar as variáveis
e
de lados diferentes da equação para facilitar a resolução. Vamos precisar aplicar a técnica de separação de variáveis e integrar ambos os lados para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar os
e
mais evidentes. A equação dada é:
Podemos rearranjar para isolarmos
de um lado:
Passo 3
Agora, a ideia é separar as variáveis
e
. Para isso, dividimos ambos os lados da equação por
:
Assim, conseguimos deixar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro lado.
Passo 4
Em seguida, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo será em relação a
e a do lado direito em relação a
:
Passo 5
Vamos resolver cada integral:
- Integral do lado esquerdo:
Sabemos que
- Integral do lado direito:
Passo 6
Igualando as integrais:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Podemos resolver essa expressão para
se quisermos deixar a solução explícita:
Multiplicando ambos os lados por
:
Renomeando
para
(já que é apenas uma constante):
Agora, invertendo ambos os lados:
Finalmente, isolamos
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
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é solução particular.
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Sabendo que
Resolver as seguintes equações diferenciais de variáveis separáveis.
sen
sen
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
, onde
é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo
e as retas
e