Resolver as seguintes equações diferenciais de variáveis separáveis.
sen
sen
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado. Precisamos resolver a equação diferencial de variáveis separáveis:
Vamos usar o método de separação de variáveis, que nos permite reorganizar a equação de forma que todas as expressões envolvendo
fiquem de um lado e as que envolvem
fiquem do outro lado.
Passo 2
Vamos rearranjar a equação para separar as variáveis
e
. Primeiro, isolamos os termos com
e
:
Agora, dividimos ambos os lados por
para isolar as variáveis:
Passo 3
Simplificamos a expressão do lado esquerdo usando identidades trigonométricas. Sabemos que:
Então, a equação fica:
Passo 4
Agora, integramos ambos os lados da equação:
Calculando as integrais:
- No lado esquerdo, a integral de
é . - No lado direito, a integral de
é .
Passo 5
Igualamos as integrais e rearranjamos os termos:
Multiplicando ambos os lados por 3 para simplificar:
Onde
é uma constante arbitrária.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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Resolva as Equação de Ricatti
Dar a solução geral da equação sabendo que
é solução particular.
Dar a solução geral da equação
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
, onde
é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo
e as retas
e
Nos exercicios 23-34, encontre
e