Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
a. integral duplaR(x+y) d A, onde R é a região que está a esquerda do eixo y e entre as circunferencias x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! A questão pede para calcular a integral de sobre a região , que está à esquerda do eixo e entre as circunferências e . Vamos usar coordenadas polares para facilitar essa conta, já que estamos lidando com círculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região . A região está entre os círculos de raio 1 e 2 (porque e correspondem a raios 1 e 2, respectivamente). Além disso, está à esquerda do eixo , ou seja, onde .

Passo 3

Nas coordenadas polares, temos que e . O elemento de área em coordenadas polares é . Então, nossa integral vai mudar para coordenadas polares usando essas expressões.

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração:
  • Para , está entre 1 e 2, já que estamos entre os círculos de raio 1 e 2.
  • Para , como queremos a parte à esquerda do eixo , varia de a (90° a 270°).

Passo 5

Agora, vamos reescrever a função x + y = r cos(theta) + r sin(theta) = r (cos(theta) + sin(theta)) em coordenadas polares:

Passo 6

Substituindo tudo na integral, temos:
integral duplaR (x + y) , dA = integralpi2^3pi2 integral1^2 r (cos(theta) + sin(theta)) cdot r , dr , dtheta
Simplificando:
integralpi2^3pi2 integral1^2 r^2 (cos(theta) + sin(theta)) , dr , dtheta

Passo 7

Vamos primeiro integrar em relação a integral1^2 r^2 , dr = [ r^33 ]1^2 = 83 - 13 = 73 :
73 integralpi2^3pi2 (cos(theta) + sin(theta)) , dtheta
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, vamos integrar em relação a integralpi2^3pi2 cos(theta) , dtheta = [ sin(theta) ]pi2^3pi2 = sin(3pi2) - sin(pi2) = (-1) - (1) = -2 :
integralpi2^3pi2 sin(theta) , dtheta = [ -cos(theta) ]pi2^3pi2 = -cos(3pi2) + cos(pi2) = 0 + 0 = 0

Passo 9

Somando as integrais:
-2 + 0 = -2
Multiplicando pelo fator que tínhamos:
73 times (-2) = -143

Resposta

A integral avaliada em coordenadas polares é igual a .

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