Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
a.
, onde
é a região que está a esquerda do eixo
e entre as circunferencias
e
a.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! A questão pede para calcular a integral de
sobre a região
, que está à esquerda do eixo
e entre as circunferências
e
. Vamos usar coordenadas polares para facilitar essa conta, já que estamos lidando com círculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região
. A região está entre os círculos de raio 1 e 2 (porque
e
correspondem a raios 1 e 2, respectivamente). Além disso, está à esquerda do eixo
, ou seja, onde
.
Passo 3
Nas coordenadas polares, temos que
e
. O elemento de área
em coordenadas polares é
. Então, nossa integral vai mudar para coordenadas polares usando essas expressões.
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração:
- Para
, está entre 1 e 2, já que estamos entre os círculos de raio 1 e 2. - Para
, como queremos a parte à esquerda do eixo , varia de a (90° a 270°).
Passo 5
Agora, vamos reescrever a função
em coordenadas polares:
Passo 6
Substituindo tudo na integral, temos:
Simplificando:
Passo 7
Vamos primeiro integrar em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, vamos integrar em relação a
:
Passo 9
Somando as integrais:
Multiplicando pelo fator que tínhamos:
Resposta
A integral
avaliada em coordenadas polares é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares.
Encontre o limite ou demonstre que não existe:
Encontra a derivada das funções:
Derive:
.