Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
a. , onde é a região que está a esquerda do eixo e entre as circunferencias e

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! A questão pede para calcular a integral de sobre a região , que está à esquerda do eixo e entre as circunferências e . Vamos usar coordenadas polares para facilitar essa conta, já que estamos lidando com círculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região . A região está entre os círculos de raio 1 e 2 (porque e correspondem a raios 1 e 2, respectivamente). Além disso, está à esquerda do eixo , ou seja, onde .

Passo 3

Nas coordenadas polares, temos que e . O elemento de área em coordenadas polares é . Então, nossa integral vai mudar para coordenadas polares usando essas expressões.

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração:
  • Para , está entre 1 e 2, já que estamos entre os círculos de raio 1 e 2.
  • Para , como queremos a parte à esquerda do eixo , varia de a (90° a 270°).

Passo 5

Agora, vamos reescrever a função em coordenadas polares:

Passo 6

Substituindo tudo na integral, temos:
Simplificando:

Passo 7

Vamos primeiro integrar em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, vamos integrar em relação a :

Passo 9

Somando as integrais:
Multiplicando pelo fator que tínhamos:

Resposta

A integral avaliada em coordenadas polares é igual a .

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Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares.
Encontre o limite ou demonstre que não existe:
Encontra a derivada das funções:
Derive:
.