Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral iterada:
Isso envolve cálculo de integrais duplas, e vamos usar coordenadas polares para facilitar o cálculo. Precisamos entender como mudar os limites de integração e a expressão da função para coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração no plano xy. Os limites para
vão de 0 a 1, e para cada
,
varia de
até
. Isso descreve uma região que está entre a linha
e a circunferência
.
Passo 3
Agora, vamos converter essas equações para coordenadas polares. Sabemos que:
A circunferência
vira
. A linha
em coordenadas polares é
.
Passo 4
Determinar os novos limites de integração. No plano polar,
vai de 0 até
, e
vai de 0 até
.
Passo 5
Expressar a função
em coordenadas polares:
E lembrar que o elemento de área em coordenadas polares é
.
Passo 6
Montar a integral em coordenadas polares:
Passo 7
Integrar em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 8
Integrar em relação a
:
Avaliado de 0 a
:
Resposta
Multiplicando os resultados:
Então, o valor da integral é
.