Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares.
integral0^1 integraly^raiz2-y^2(x+y) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral iterada:
integral0^1 integraly^raiz2 - y^2 (x + y) , dx , dy
Isso envolve cálculo de integrais duplas, e vamos usar coordenadas polares para facilitar o cálculo. Precisamos entender como mudar os limites de integração e a expressão da função para coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração no plano xy. Os limites para vão de 0 a 1, e para cada , varia de até . Isso descreve uma região que está entre a linha e a circunferência .

Passo 3

Agora, vamos converter essas equações para coordenadas polares. Sabemos que:
x = r cos theta y = r sin theta
A circunferência vira . A linha em coordenadas polares é .

Passo 4

Determinar os novos limites de integração. No plano polar, vai de 0 até , e vai de 0 até .

Passo 5

Expressar a função x + y = r cos theta + r sin theta = r (cos theta + sin theta) em coordenadas polares:
E lembrar que o elemento de área em coordenadas polares é .

Passo 6

Montar a integral em coordenadas polares:
integral0^pi4 integral0^raiz2 r (cos theta + sin theta) cdot r , dr , dtheta = integral0^pi4 integral0^raiz2 r^2 (cos theta + sin theta) , dr , dtheta

Passo 7

Integrar em relação a integral0^raiz2 r^2 , dr = [ r^33 ]0^raiz2 = (raiz2)^33 = 2raiz23 :
2raiz23 integral0^pi4 (cos theta + sin theta) , dtheta
Então, a integral fica:

Passo 8

Integrar em relação a integral (cos theta + sin theta) , dtheta = sin theta - cos theta :
[ sin theta - cos theta ]0^pi4 = ( sin pi4 - cos pi4 ) - (0 - 1) = ( raiz22 - raiz22 ) - (-1) = 1
Avaliado de 0 a :

Resposta

Multiplicando os resultados:
2raiz23 times 1 = 2raiz23
Então, o valor da integral é .

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