Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral iterada:
Isso envolve cálculo de integrais duplas, e vamos usar coordenadas polares para facilitar o cálculo. Precisamos entender como mudar os limites de integração e a expressão da função para coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração no plano xy. Os limites para
vão de 0 a 1, e para cada
,
varia de
até
. Isso descreve uma região que está entre a linha
e a circunferência
.
Passo 3
Agora, vamos converter essas equações para coordenadas polares. Sabemos que:
A circunferência
vira
. A linha
em coordenadas polares é
.
Passo 4
Determinar os novos limites de integração. No plano polar,
vai de 0 até
, e
vai de 0 até
.
Passo 5
Expressar a função
em coordenadas polares:
E lembrar que o elemento de área em coordenadas polares é
.
Passo 6
Montar a integral em coordenadas polares:
Passo 7
Integrar em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 8
Integrar em relação a
:
Avaliado de 0 a
:
Resposta
Multiplicando os resultados:
Então, o valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Encontre o limite ou demonstre que não existe:
Um frasco de vidro a
está completamente cheio com 891 g de mercúrio. Qual a massa de mercúrio necessária para que o frasco fique cheio a
? (O coeficiente de dilatação linear do vidro é
; o coeficiente de dilatação volumétrica do mercúrio é
.
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
a. , onde
é a região que está a esquerda do eixo
e entre as circunferencias
e
a.
Encontra a derivada das funções: