Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral iterada:
Isso envolve cálculo de integrais duplas, e vamos usar coordenadas polares para facilitar o cálculo. Precisamos entender como mudar os limites de integração e a expressão da função para coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração no plano xy. Os limites para vão de 0 a 1, e para cada , varia de até . Isso descreve uma região que está entre a linha e a circunferência .

Passo 3

Agora, vamos converter essas equações para coordenadas polares. Sabemos que:
A circunferência vira . A linha em coordenadas polares é .

Passo 4

Determinar os novos limites de integração. No plano polar, vai de 0 até , e vai de 0 até .

Passo 5

Expressar a função em coordenadas polares:
E lembrar que o elemento de área em coordenadas polares é .

Passo 6

Montar a integral em coordenadas polares:

Passo 7

Integrar em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 8

Integrar em relação a :
Avaliado de 0 a :

Resposta

Multiplicando os resultados:
Então, o valor da integral é .

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Encontre o limite ou demonstre que não existe:
Um frasco de vidro a está completamente cheio com 891 g de mercúrio. Qual a massa de mercúrio necessária para que o frasco fique cheio a ? (O coeficiente de dilatação linear do vidro é ; o coeficiente de dilatação volumétrica do mercúrio é .
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
a. , onde é a região que está a esquerda do eixo e entre as circunferencias e
Encontra a derivada das funções: