Encontre o limite ou demonstre que não existe:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar o limite quando
tende ao infinito da função
. Estamos lidando com limites no cálculo, especificamente envolvendo funções logarítmicas. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades dos logaritmos e entender o comportamento das funções quando
cresce sem limites.
Passo 2
Vamos começar simplificando a expressão usando uma propriedade importante dos logaritmos:
. Aplicando isso à nossa função:
Passo 3
Agora, analisamos o que acontece com a fração dentro do logaritmo quando
tende ao infinito. A expressão é:
Para entender o comportamento dessa fração, vamos dividir o numerador e o denominador por
:
Passo 4
À medida que
tende ao infinito, os termos
e
tendem a zero. Portanto, a expressão simplifica para:
Passo 5
Agora, substituímos de volta na função logarítmica:
Sabemos que
cresce sem limites conforme
tende ao infinito.
Resposta
Portanto, o limite é infinito: