Encontre o limite ou demonstre que não existe: lim x infty[ln (1+x^2)-ln (1+x)]

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar o limite quando tende ao infinito da função . Estamos lidando com limites no cálculo, especificamente envolvendo funções logarítmicas. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades dos logaritmos e entender o comportamento das funções quando cresce sem limites.

Passo 2

Vamos começar simplificando a expressão usando uma propriedade importante dos logaritmos: ln(1 + x^2) - ln(1 + x) = ln(1 + x^21 + x) . Aplicando isso à nossa função:

Passo 3

Agora, analisamos o que acontece com a fração dentro do logaritmo quando 1 + x^21 + x tende ao infinito. A expressão é:
1 + x^21 + x = x^2(1x^2 + 1)x(1x + 1) = x^2(1 + 1x^2)x(1 + 1x) = x cdot 1 + 1x^21 + 1x
Para entender o comportamento dessa fração, vamos dividir o numerador e o denominador por :

Passo 4

À medida que x cdot 1 + 01 + 0 = x tende ao infinito, os termos e tendem a zero. Portanto, a expressão simplifica para:

Passo 5

Agora, substituímos de volta na função logarítmica:
ln(1 + x^21 + x) approx ln(x)
Sabemos que cresce sem limites conforme tende ao infinito.

Resposta

Portanto, o limite é infinito:
limx infty[ln (1+x^2)-ln (1+x)] = +infty

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