Calcule a integral dada colocando-a em coordenadas polares.
; onde é a região delimitada por .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que envolve a região delimitada pelos círculos e . Vamos usar coordenadas polares porque os limites da região são círculos, o que facilita bastante a conta. Precisamos entender como transformar a integral de coordenadas cartesianas para polares e aplicar essa mudança para calcular a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, as relações são:
E a área diferencial em coordenadas polares fica:
Além disso, a expressão em polares simplifica para , já que:

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração. A região está entre os círculos de raio 1 e 3 (já que e ). Portanto, varia de 1 a 3. Para , como estamos cobrindo todo o círculo, varia de a .

Passo 4

Substituindo tudo na integral original, temos:
Aqui, substituímos por e por .

Passo 5

Simplificando a integral:
Primeiro, vamos integrar em relação a :

Passo 6

Agora, integremos o resultado em relação a :

Resposta

A integral vale .

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Determine se as seguintes funções são crescente, decrescente, não-crescente ou nãodecrescente:
em :
Determine se as seguintes funções são crescente, decrescente, não-crescente ou nãodecrescente:
em ;
Determine se as seguintes funções são crescente, decrescente, não-crescente ou nãodecrescente:
:
Calcule a integral: