Calcule a integral dada colocando-a em coordenadas polares.
; onde
é a região delimitada por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que envolve a região
delimitada pelos círculos
e
. Vamos usar coordenadas polares porque os limites da região são círculos, o que facilita bastante a conta. Precisamos entender como transformar a integral de coordenadas cartesianas para polares e aplicar essa mudança para calcular a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, as relações são:
E a área diferencial
em coordenadas polares fica:
Além disso, a expressão
em polares simplifica para
, já que:
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração. A região
está entre os círculos de raio 1 e 3 (já que
e
). Portanto,
varia de 1 a 3. Para
, como estamos cobrindo todo o círculo, varia de
a
.
Passo 4
Substituindo tudo na integral original, temos:
Aqui, substituímos
por
e
por
.
Passo 5
Simplificando a integral:
Primeiro, vamos integrar em relação a
:
Passo 6
Agora, integremos o resultado em relação a
:
Resposta
A integral vale
.
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Determine se as seguintes funções são crescente, decrescente, não-crescente ou nãodecrescente:
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Calcule a integral: