Calcule a integral dada colocando-a em coordenadas polares.
integral duplaR raizx^2+y^2 d A; onde R é a região delimitada por x^2+y^2=1 e x^2+y^2=9.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que envolve a região delimitada pelos círculos e . Vamos usar coordenadas polares porque os limites da região são círculos, o que facilita bastante a conta. Precisamos entender como transformar a integral de coordenadas cartesianas para polares e aplicar essa mudança para calcular a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, as relações são:
x = r costheta e y = r sintheta
E a área diferencial dA = r , dr , dtheta em coordenadas polares fica:
raizx^2 + y^2 = raizr^2 cos^2theta + r^2 sin^2theta = r
Além disso, a expressão em polares simplifica para , já que:

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração. A região está entre os círculos de raio 1 e 3 (já que e ). Portanto, varia de 1 a 3. Para , como estamos cobrindo todo o círculo, varia de a .

Passo 4

Substituindo tudo na integral original, temos:
integral duplaR raizx^2+y^2 , dA = integral0^2pi integral1^3 r cdot r , dr , dtheta
Aqui, substituímos por e por .

Passo 5

Simplificando a integral:
integral0^2pi integral1^3 r^2 , dr , dtheta
Primeiro, vamos integrar em relação a integral1^3 r^2 , dr = [ r^33 ]1^3 = 3^33 - 1^33 = 273 - 13 = 9 - 13 = 263 :

Passo 6

Agora, integremos o resultado em relação a integral0^2pi 263 , dtheta = 263 cdot [ theta ]0^2pi = 263 cdot 2pi = 52pi3 :

Resposta

A integral vale .

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