Calcule a integral:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício é de cálculo integral, especificamente envolvendo substituição e integração por partes. Para resolver, vamos precisar fazer uma substituição que simplifique a integral e depois aplicar a técnica de integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro do expoente. Vamos definir:
Isso significa que:
Agora, precisamos achar
em termos de
. Derivando ambos os lados em relação a
:
Ou, de forma equivalente:
Passo 3
Substituindo
e
na integral original:
Agora, a integral ficou em termos de
, e nosso objetivo é resolver
.
Passo 4
Para resolver
, vamos usar a técnica de integração por partes. A fórmula para integração por partes é:
Precisamos escolher quais partes serão
e
. Vamos escolher:
Passo 5
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Onde
é a constante de integração. Simplificando:
Passo 6
Voltando à nossa substituição inicial
, substituímos na expressão que obtivemos:
Resposta
A integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Determine se as seguintes funções são crescente, decrescente, não-crescente ou nãodecrescente:
:
Calcule a integral dada colocando-a em coordenadas polares.
; onde
é a região delimitada por
.
Suponha que a corrente em um circuito elétrico satisfaça a equação
, com
e
constantes positivas. Mostre que
quando
.
Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras, justificando convenientemente:
, não é analítica para todo
.