Calcule a integral:
(k) integral e^raizx d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício é de cálculo integral, especificamente envolvendo substituição e integração por partes. Para resolver, vamos precisar fazer uma substituição que simplifique a integral e depois aplicar a técnica de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro do expoente. Vamos definir:
u = raizx
Isso significa que:
u = x^1/2
Agora, precisamos achar du = 12 x^-1/2 dx em termos de dx = 2 raizx , du = 2u , du . Derivando ambos os lados em relação a :
Ou, de forma equivalente:

Passo 3

Substituindo integral e^raizx , dx = integral e^u cdot 2u , du = 2 integral u e^u , du e na integral original:
Agora, a integral ficou em termos de , e nosso objetivo é resolver .

Passo 4

Para resolver integral u , dv = uv - integral v , du , vamos usar a técnica de integração por partes. A fórmula para integração por partes é:
u = u Rightarrow du = du
Precisamos escolher quais partes serão dv = e^u , du Rightarrow v = e^u e . Vamos escolher:

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral u e^u , du = u e^u - integral e^u , du = u e^u - e^u + C
Onde integral u e^u , du = e^u (u - 1) + C é a constante de integração. Simplificando:

Passo 6

Voltando à nossa substituição inicial 2 integral u e^u , du = 2 [ e^u (u - 1) ] + C = 2 e^raizx (raizx - 1) + C , substituímos na expressão que obtivemos:

Resposta

A integral 2 ( raizx - 1 ) e^raizx + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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