Calcule a integral:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício é de cálculo integral, especificamente envolvendo substituição e integração por partes. Para resolver, vamos precisar fazer uma substituição que simplifique a integral e depois aplicar a técnica de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro do expoente. Vamos definir:
Isso significa que:
Agora, precisamos achar em termos de . Derivando ambos os lados em relação a :
Ou, de forma equivalente:

Passo 3

Substituindo e na integral original:
Agora, a integral ficou em termos de , e nosso objetivo é resolver .

Passo 4

Para resolver , vamos usar a técnica de integração por partes. A fórmula para integração por partes é:
Precisamos escolher quais partes serão e . Vamos escolher:

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Onde é a constante de integração. Simplificando:

Passo 6

Voltando à nossa substituição inicial , substituímos na expressão que obtivemos:

Resposta

A integral é igual a:
onde é a constante de integração.

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:
Calcule a integral dada colocando-a em coordenadas polares.
; onde é a região delimitada por .
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