Determine se as seguintes funções são crescente, decrescente, não-crescente ou nãodecrescente:
em ;

Passo 1

Beleza, vamos encarar essa questão! A gente precisa descobrir se a função está crescendo, diminuindo, não está crescendo ou não está diminuindo no intervalo de positivos, ou seja, . Para isso, vamos usar o conteúdo de derivadas, que nos ajuda a entender como uma função se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função nos diz a inclinação da tangente a qualquer ponto dela. Se a derivada for positiva, a função está crescendo; se for negativa, está diminuindo.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de . A derivada de é e a derivada de é . Então:

Passo 4

Agora, vamos analisar o sinal dessa derivada. Tanto quanto são positivos para todo . Isso porque a raiz quadrada e o logaritmo natural estão definidos e positivos nesse intervalo.

Passo 5

Como a soma de duas expressões positivas é sempre positiva, concluímos que para todo em .

Resposta

A função é crescente em todo o intervalo .

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:
Mostre as seguintes desigualdades usando o Teorema do Valor Médio:
para todo .
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em :
Calcule a integral dada colocando-a em coordenadas polares.
; onde é a região delimitada por .