Determine se as seguintes funções são crescente, decrescente, não-crescente ou nãodecrescente:
em
;
Passo 1
Beleza, vamos encarar essa questão! A gente precisa descobrir se a função
está crescendo, diminuindo, não está crescendo ou não está diminuindo no intervalo de
positivos, ou seja,
. Para isso, vamos usar o conteúdo de derivadas, que nos ajuda a entender como uma função se comporta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função nos diz a inclinação da tangente a qualquer ponto dela. Se a derivada for positiva, a função está crescendo; se for negativa, está diminuindo.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. A derivada de
é
e a derivada de
é
. Então:
Passo 4
Agora, vamos analisar o sinal dessa derivada. Tanto
quanto
são positivos para todo
. Isso porque a raiz quadrada e o logaritmo natural estão definidos e positivos nesse intervalo.
Passo 5
Como a soma de duas expressões positivas é sempre positiva, concluímos que
para todo
em
.
Resposta
A função
é crescente em todo o intervalo
.
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Mostre as seguintes desigualdades usando o Teorema do Valor Médio:
para todo
.
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em
:
Calcule a integral dada colocando-a em coordenadas polares.
; onde
é a região delimitada por
.