Determine se as seguintes funções são crescente, decrescente, não-crescente ou nãodecrescente:
f(x) = x^3 - 3x em R :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar se a função é crescente, decrescente, não-crescente ou não-decrescente em todos os números reais. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente a derivada da função, que nos ajuda a entender como a função se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada da função . A derivada nos mostra a taxa de variação da função em cada ponto. Se a derivada for positiva, a função está aumentando (crescente). Se for negativa, está diminuindo (decrescente).
A derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar onde a derivada é igual a zero, porque esses pontos podem ser onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa.
Dividindo ambos os lados por 3:
Resolvendo:
Então, os pontos críticos são e .

Passo 4

Vamos analisar os intervalos definidos por esses pontos críticos para ver onde a derivada é positiva ou negativa:
  1. Intervalo :
    Escolha :
    A derivada é positiva, então a função é crescente nesse intervalo.
  2. Intervalo :
    Escolha :
    A derivada é negativa, então a função é decrescente nesse intervalo.
  3. Intervalo :
    Escolha :
    A derivada é positiva, então a função é crescente nesse intervalo.

Resposta

A função é:
  • Crescente para e ,
  • Decrescente para .

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