Determine se as seguintes funções são crescente, decrescente, não-crescente ou nãodecrescente:
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar se a função
é crescente, decrescente, não-crescente ou não-decrescente em todos os números reais. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente a derivada da função, que nos ajuda a entender como a função se comporta.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada da função
. A derivada nos mostra a taxa de variação da função em cada ponto. Se a derivada for positiva, a função está aumentando (crescente). Se for negativa, está diminuindo (decrescente).
A derivada de
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar onde a derivada é igual a zero, porque esses pontos podem ser onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa.
Dividindo ambos os lados por 3:
Resolvendo:
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Vamos analisar os intervalos definidos por esses pontos críticos para ver onde a derivada é positiva ou negativa:
-
Intervalo
:
Escolha: A derivada é positiva, então a função é crescente nesse intervalo. -
Intervalo
:
Escolha: A derivada é negativa, então a função é decrescente nesse intervalo. -
Intervalo
:
Escolha: A derivada é positiva, então a função é crescente nesse intervalo.
Resposta
A função
é:
- Crescente para
e , - Decrescente para
.