Calcule a integral dada colocando-a em coordenadas polares. integral duplaR e^-x^2-y^2 d A; onde R é a região limitada pelo semicírculo x=raiz4-y^2 e o eixo y.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular uma integral dupla sobre uma região específica . A função a ser integrada é , e a região é delimitada pelo semicírculo e pelo eixo . Vamos resolver essa integral convertendo para coordenadas polares, que costumam simplificar integrais que envolvem círculos ou semicírculos.

Passo 2

Vamos começar descrevendo a região . A equação representa um semicírculo de raio 2, já que é a equação de um círculo com raio 2 centrado na origem. Como temos , isso significa que estamos considerando apenas a parte do semicírculo onde . Além disso, a região é limitada pelo eixo , que é a linha .

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos trocar as coordenadas cartesianas x = r cos theta por coordenadas polares y = r sin theta . As relações de conversão são:
O elemento de área em coordenadas polares é dado por .

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites de integração em coordenadas polares. O semicírculo tem raio 2, então varia de 0 a 2. Em relação ao ângulo , como estamos considerando apenas a metade do círculo onde , varia de a .

Passo 5

Substituindo a função e os limites na integral, temos:
integral duplaR e^-x^2-y^2 , dA = integral-pi2^pi2 integral0^2 e^-r^2 cdot r , dr , dtheta
Aqui, substituímos por e por .

Passo 6

Vamos resolver a integral em integral0^2 e^-r^2 cdot r , dr primeiro:
-12 integral0^-4 e^u , du = 12 ( e^0 - e^-4 ) = 12 (1 - e^-4)
Fazendo a substituição , temos , ou seja, . Assim, a integral se torna:

Passo 7

Agora, vamos integrar em integral-pi2^pi2 12 (1 - e^-4) , dtheta = 12 (1 - e^-4) cdot ( pi2 - (-pi2) ) = 12 (1 - e^-4) cdot pi :

Resposta

A integral calculada em coordenadas polares é:
integral duplaR e^-x^2-y^2 , dA = pi2 (1 - e^-4)

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