Calcule a integral dada colocando-a em coordenadas polares.
; onde
é a região limitada pelo semicírculo
e o eixo
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular uma integral dupla sobre uma região específica
. A função a ser integrada é
, e a região
é delimitada pelo semicírculo
e pelo eixo
. Vamos resolver essa integral convertendo para coordenadas polares, que costumam simplificar integrais que envolvem círculos ou semicírculos.
Passo 2
Vamos começar descrevendo a região
. A equação
representa um semicírculo de raio 2, já que
é a equação de um círculo com raio 2 centrado na origem. Como temos
, isso significa que estamos considerando apenas a parte do semicírculo onde
. Além disso, a região é limitada pelo eixo
, que é a linha
.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos trocar as coordenadas cartesianas
por coordenadas polares
. As relações de conversão são:
O elemento de área em coordenadas polares é dado por
.
Passo 4
Agora, precisamos determinar os limites de integração em coordenadas polares. O semicírculo tem raio 2, então
varia de 0 a 2. Em relação ao ângulo
, como estamos considerando apenas a metade do círculo onde
,
varia de
a
.
Passo 5
Substituindo a função e os limites na integral, temos:
Aqui, substituímos
por
e
por
.
Passo 6
Vamos resolver a integral em
primeiro:
Fazendo a substituição
, temos
, ou seja,
. Assim, a integral se torna:
Passo 7
Agora, vamos integrar em
:
Resposta
A integral calculada em coordenadas polares é:
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Sejam
e
. Calcule:
Resolva as equações a seguir usando as propriedades da exponencial e do logaritmo.
A partir da definição, avalie as funções a seguir nos pontos indicados.
e
A partir da definição, avalie as funções a seguir nos pontos indicados.
e