Sejam f(t)=t imath+2 t^2 jmath+3 t^3 k e g(t)=3 t imath-2 jmath+4 t^2 k. Calcule:
lim t 1[f(t) wed>= g(t)]

Passo 1

Beleza, vamos resolver este exercício juntos! Temos duas funções vetoriais, f(t) e g(t), e precisamos encontrar o limite do produto vetorial delas quando t se aproxima de 1. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o produto vetorial e o limite de funções vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o produto vetorial. O produto vetorial entre dois vetores resulta em um novo vetor que é perpendicular aos vetores originais. A fórmula para calcular o produto vetorial f wed>= g é:
f wed>= g = imath & jmath & k fx & fy & fz gx & gy & gz
Onde imath, jmath e k são os vetores unitários nos eixos x, y e z, respectivamente, e fx, fy, fz são as componentes de f(t), e gx, gy, gz as de g(t).

Passo 3

Vamos identificar as componentes de cada vetor:
f(t) = t,imath + 2t^2,jmath + 3t^3,k
Então, fx = t, fy = 2t^2, fz = 3t^3.
g(t) = 3t,imath - 2,jmath + 4t^2,k
Assim, gx = 3t, gy = -2, gz = 4t^2.

Passo 4

Agora, vamos montar a matriz para calcular o produto vetorial:
f(t) wed>= g(t) = imath & jmath & k t & 2t^2 & 3t^3 3t & -2 & 4t^2
Calculando o determinante:
imath(2t^2 cdot 4t^2 - 3t^3 cdot (-2)) - jmath(t cdot 4t^2 - 3t^3 cdot 3t) + k(t cdot (-2) - 2t^2 cdot 3t)
Simplificando cada termo:
Para imath:
2t^2 cdot 4t^2 = 8t^4
3t^3 cdot (-2) = -6t^3
Então:
8t^4 - (-6t^3) = 8t^4 + 6t^3
Para jmath:
t cdot 4t^2 = 4t^3
3t^3 cdot 3t = 9t^4
Então:
4t^3 - 9t^4 = -9t^4 + 4t^3
Para k:
t cdot (-2) = -2t
2t^2 cdot 3t = 6t^3
Então:
-2t - 6t^3 = -6t^3 - 2t

Passo 5

Agora, juntando tudo:
f(t) wed>= g(t) = (8t^4 + 6t^3),imath - (-9t^4 + 4t^3),jmath + (-6t^3 - 2t),k
Simplificando os sinais:
f(t) wed>= g(t) = (8t^4 + 6t^3),imath + (9t^4 - 4t^3),jmath + (-6t^3 - 2t),k

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite quando t se aproxima de 1:
lim t 1[f(t) wed>= g(t)] = lim t 1 [ (8t^4 + 6t^3),imath + (9t^4 - 4t^3),jmath + (-6t^3 - 2t),k ]
Como o limite de uma soma é a soma dos limites, podemos calcular cada componente separadamente:
Para imath:
lim t 1 (8t^4 + 6t^3) = 8(1)^4 + 6(1)^3 = 8 + 6 = 14
Para jmath:
lim t 1 (9t^4 - 4t^3) = 9(1)^4 - 4(1)^3 = 9 - 4 = 5
Para k:
lim t 1 (-6t^3 - 2t) = -6(1)^3 - 2(1) = -6 - 2 = -8

Resposta

lim t 1[f(t) wed>= g(t)] = 14,imath + 5,jmath - 8,k

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