Calcule a integral dada colocando-a em coordenadas polares.
; onde
é a região limitada pelo semicírculo
e o eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral dupla
. O enunciado pede para a gente trocar para coordenadas polares. Então, estamos trabalhando com cálculo integral em coordenadas polares e precisamos saber como converter a região de integração e a função para essas coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. A região é limitada pelo semicírculo
e pelo eixo
. Esse semicírculo é a parte direita do círculo de raio 2, já que
implica que
.
Passo 3
Em coordenadas polares, usamos
e
. A equação do semicírculo se torna
. Mas como é um semicírculo de raio 2, sabemos que
vai de 0 a 2, e o ângulo
vai de
a
para cobrir apenas o lado direito.
Passo 4
A função
em coordenadas polares fica
, já que
. Além disso, o elemento de área
em coordenadas polares é
. Então, a integral vira:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro. Seja
, então
, o que nos ajuda a integrar
. A integral fica:
Agora, substituímos de volta na integral externa:
Resposta
A integral vale
.
Exercícios relacionados
Utilizando coordenadas esféricas, calcule o valor da integral
onde
é a esfera de raio
6
Obter as soluções gerais das EDO de ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
a) ;
Obter as soluções gerais das EDO de
a)
Determine o trabalho realizado pelo campo de força
ao mover um objeto de
a
.
b. ,
e
b.
Calcule a integral iterada:
b.
b.