Calcule a integral dada colocando-a em coordenadas polares.
; onde é a região limitada pelo semicírculo e o eixo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla . O enunciado pede para a gente trocar para coordenadas polares. Então, estamos trabalhando com cálculo integral em coordenadas polares e precisamos saber como converter a região de integração e a função para essas coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . A região é limitada pelo semicírculo e pelo eixo . Esse semicírculo é a parte direita do círculo de raio 2, já que implica que .

Passo 3

Em coordenadas polares, usamos e . A equação do semicírculo se torna . Mas como é um semicírculo de raio 2, sabemos que vai de 0 a 2, e o ângulo vai de a para cobrir apenas o lado direito.

Passo 4

A função em coordenadas polares fica , já que . Além disso, o elemento de área em coordenadas polares é . Então, a integral vira:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro. Seja , então , o que nos ajuda a integrar . A integral fica:
Agora, substituímos de volta na integral externa:

Resposta

A integral vale .

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Utilizando coordenadas esféricas, calcule o valor da integral
onde é a esfera de raio
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Obter as soluções gerais das EDO de ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
a) ;
Determine o trabalho realizado pelo campo de força ao mover um objeto de a .
b. ,
e
Calcule a integral iterada:
b.