Calcule a integral dada colocando-a em coordenadas polares.
integral duplaR e^-x^2-y^2 d A; onde R é a região limitada pelo semicírculo x=raiz4-y^2 e o eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla integral duplaR e^-x^2-y^2 d A. O enunciado pede para a gente trocar para coordenadas polares. Então, estamos trabalhando com cálculo integral em coordenadas polares e precisamos saber como converter a região de integração e a função para essas coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região R. A região é limitada pelo semicírculo x=raiz4-y^2 e pelo eixo y. Esse semicírculo é a parte direita do círculo de raio 2, já que x = raiz4 - y^2 implica que x >= 0.

Passo 3

Em coordenadas polares, usamos x = r costheta e y = r sintheta. A equação do semicírculo se torna r costheta = raiz4 - r^2 sin^2theta. Mas como é um semicírculo de raio 2, sabemos que r vai de 0 a 2, e o ângulo theta vai de -pi2 a pi2 para cobrir apenas o lado direito.

Passo 4

A função e^-x^2-y^2 em coordenadas polares fica e^-r^2, já que x^2 + y^2 = r^2. Além disso, o elemento de área dA em coordenadas polares é r dr dtheta. Então, a integral vira:
integral-pi2^pi2 integral0^2 e^-r^2 cdot r , dr , dtheta

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro. Seja u = -r^2, então du = -2r dr, o que nos ajuda a integrar e^-r^2 cdot r dr. A integral fica:
integral0^2 e^-r^2 cdot r , dr = 12 (1 - e^-4)
Agora, substituímos de volta na integral externa:
integral-pi2^pi2 12 (1 - e^-4) dtheta = 12 (1 - e^-4) cdot pi

Resposta

A integral vale pi2 (1 - e^-4).

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