Utilizando coordenadas esféricas, calcule o valor da integral
onde
é a esfera de raio
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntinho! A gente precisa calcular uma integral tripla sobre uma esfera usando coordenadas esféricas. O enunciado nos pede para encontrar o valor de
onde
é a esfera de raio
. Para isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são super úteis para integrais em regiões esféricas. Vamos precisar entender como transformar a integral para essas coordenadas e integrar passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas esféricas, qualquer ponto
é representado por
, onde:
-
é a distância do ponto até a origem. -
é o ângulo no plano (longitude). -
é o ângulo que o raio faz com o eixo (colatitude).
A relação entre as coordenadas cartesianas e esféricas é:
Passo 3
O próximo passo é transformar a função que estamos integrando e a região de integração para coordenadas esféricas. A função
simplifica para
em coordenadas esféricas, porque:
E a região
sendo uma esfera de raio
fica simplesmente
.
Passo 4
Agora, precisamos lembrar do elemento de volume em coordenadas esféricas, que é dado por:
Então, nossa integral original se transforma em:
Passo 5
Vamos agora definir os limites de integração para cada variável:
-
varia de até . -
varia de até (cobrindo de cima a baixo da esfera). -
varia de até (completando toda a volta ao redor do eixo ).
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos integrar passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 7
Em seguida, integramos em rela��ão a
:
Passo 8
Por último, integramos em relação a
:
Passo 9
Agora, multiplicamos os resultados das integrais:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
6
Obter as soluções gerais das EDO de ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
a) ;
Obter as soluções gerais das EDO de
a)
Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
f) ;
f)
Calcule a integral dada colocando-a em coordenadas polares.
; onde
é a região limitada pelo semicírculo
e o eixo
.
Determine o trabalho realizado pelo campo de força
ao mover um objeto de
a
.
b. ,
e
b.