Utilizando coordenadas esféricas, calcule o valor da integral
onde é a esfera de raio

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntinho! A gente precisa calcular uma integral tripla sobre uma esfera usando coordenadas esféricas. O enunciado nos pede para encontrar o valor de
onde é a esfera de raio . Para isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são super úteis para integrais em regiões esféricas. Vamos precisar entender como transformar a integral para essas coordenadas e integrar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas esféricas, qualquer ponto é representado por , onde:
  • é a distância do ponto até a origem.
  • é o ângulo no plano (longitude).
  • é o ângulo que o raio faz com o eixo (colatitude).
A relação entre as coordenadas cartesianas e esféricas é:

Passo 3

O próximo passo é transformar a função que estamos integrando e a região de integração para coordenadas esféricas. A função simplifica para em coordenadas esféricas, porque:
E a região sendo uma esfera de raio fica simplesmente .

Passo 4

Agora, precisamos lembrar do elemento de volume em coordenadas esféricas, que é dado por:
Então, nossa integral original se transforma em:

Passo 5

Vamos agora definir os limites de integração para cada variável:
  • varia de até .
  • varia de até (cobrindo de cima a baixo da esfera).
  • varia de até (completando toda a volta ao redor do eixo ).
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos integrar passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :

Passo 7

Em seguida, integramos em rela��ão a :

Passo 8

Por último, integramos em relação a :

Passo 9

Agora, multiplicamos os resultados das integrais:

Resposta

O valor da integral é .

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6
Obter as soluções gerais das EDO de ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
a) ;
Obter as soluções gerais das EDO de ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
f) ;
Calcule a integral dada colocando-a em coordenadas polares.
; onde é a região limitada pelo semicírculo e o eixo .
Determine o trabalho realizado pelo campo de força ao mover um objeto de a .
b. ,
e