Utilizando coordenadas esféricas, calcule o valor da integral
integral triplaX raizx^2+y^2+z^2 d V
onde X é a esfera de raio alpha+1
X=(x, y, z) in R^3 mid x^2+y^2+z^2 <=(alpha+1)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntinho! A gente precisa calcular uma integral tripla sobre uma esfera usando coordenadas esféricas. O enunciado nos pede para encontrar o valor de
integral triplaX raizx^2+y^2+z^2 , dV
onde é a esfera de raio . Para isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são super úteis para integrais em regiões esféricas. Vamos precisar entender como transformar a integral para essas coordenadas e integrar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas esféricas, qualquer ponto x = r sin phi cos theta y = r sin phi sin theta z = r cos phi é representado por , onde:
  • é a distância do ponto até a origem.
  • é o ângulo no plano (longitude).
  • é o ângulo que o raio faz com o eixo (colatitude).
A relação entre as coordenadas cartesianas e esféricas é:

Passo 3

O próximo passo é transformar a função que estamos integrando e a região de integração para coordenadas esféricas. A função raizx^2+y^2+z^2 = raizr^2 = r simplifica para em coordenadas esféricas, porque:
E a região sendo uma esfera de raio fica simplesmente .

Passo 4

Agora, precisamos lembrar do elemento de volume em coordenadas esféricas, que é dado por:
dV = r^2 sin phi , dr , dphi , dtheta
Então, nossa integral original se transforma em:
integral triplaX r cdot r^2 sin phi , dr , dphi , dtheta = integral triplaX r^3 sin phi , dr , dphi , dtheta

Passo 5

Vamos agora definir os limites de integração para cada variável:
  • integral0^2pi integral0^pi integral0^alpha+1 r^3 sin phi , dr , dphi , dtheta varia de até .
  • varia de até (cobrindo de cima a baixo da esfera).
  • varia de até (completando toda a volta ao redor do eixo ).
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos integrar passo a passo. Primeiro, integramos em relação a integral0^alpha+1 r^3 , dr = [ r^44 ]0^alpha+1 = (alpha + 1)^44 :

Passo 7

Em seguida, integramos em rela��ão a integral0^pi sin phi , dphi = [ -cos phi ]0^pi = -cos pi + cos 0 = 1 + 1 = 2 :

Passo 8

Por último, integramos em relação a integral0^2pi dtheta = 2pi :

Passo 9

Agora, multiplicamos os resultados das integrais:
(alpha + 1)^44 times 2 times 2pi = (alpha + 1)^4 times 4pi4 = (alpha + 1)^4 pi

Resposta

O valor da integral é .

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