6
Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
a)
;
Obter as soluções gerais das EDO de
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem que a gente tem aqui:
A matéria que vamos usar é sobre EDOs de primeira ordem e, mais especificamente, vamos verificar se essa equação é exata. Se for, a gente consegue achar a solução geral integrando certos termos.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a identificação dos termos
e
:
Então, temos:
Aqui,
e
.
Passo 3
Vamos verificar se a equação é exata. Para isso, precisamos comparar as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata. Isso significa que existe uma função
tal que:
Passo 4
Vamos encontrar a função
integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 5
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
para encontrar
:
Sabemos que
, então:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 6
Integrando
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, temos a função potencial completa:
Para encontrar a solução geral da EDO, igualamos
a uma constante:
Podemos multiplicar tudo por 2 para simplificar:
Onde
ainda representa uma constante.
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
f) ;
f)
(a) Toda sequência limitada é convergente.
Utilizando coordenadas esféricas, calcule o valor da integral
onde
é a esfera de raio
Calcule a integral dada colocando-a em coordenadas polares.
; onde
é a região limitada pelo semicírculo
e o eixo
.