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Obter as soluções gerais das EDO de ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
a) ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem que a gente tem aqui:
A matéria que vamos usar é sobre EDOs de primeira ordem e, mais especificamente, vamos verificar se essa equação é exata. Se for, a gente consegue achar a solução geral integrando certos termos.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a identificação dos termos e :
Então, temos:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos verificar se a equação é exata. Para isso, precisamos comparar as derivadas parciais:
Como , a equação é exata. Isso significa que existe uma função tal que:

Passo 4

Vamos encontrar a função integrando em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 5

Agora, vamos derivar em relação a e igualar a para encontrar :
Sabemos que , então:
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 6

Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, temos a função potencial completa:
Para encontrar a solução geral da EDO, igualamos a uma constante:
Podemos multiplicar tudo por 2 para simplificar:
Onde ainda representa uma constante.

Resposta

A solução geral da EDO é:
Onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Obter as soluções gerais das EDO de ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
f) ;
(a) Toda sequência limitada é convergente.
Utilizando coordenadas esféricas, calcule o valor da integral
onde é a esfera de raio
Calcule a integral dada colocando-a em coordenadas polares.
; onde é a região limitada pelo semicírculo e o eixo .