Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral dupla . Essa integral está em coordenadas cartesianas, mas a gente vai mudar para coordenadas polares para facilitar a resolução. Para isso, vamos precisar saber como transformar as funções e os limites das integrais de cartesianas para polares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos variando de 0 a 1. Para cada , varia de até . Isso descreve uma região simétrica em relação ao eixo , centrada em . Essa região é, na verdade, um círculo de raio 1 com centro no ponto .
Passo 3
Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, e . Também lembrando que o elemento de área se transforma em . Então, nossa integral vai se transformar em:
Passo 4
Precisamos determinar os novos limites de integração em coordenadas polares. Como a região é um círculo de raio 1 centrado em , podemos parametrizar isso em polares. O ângulo varia de a para cobrir toda a parte superior e inferior do círculo. O raio varia de 0 até (isso porque o raio máximo ocorre quando , e aí ).
Passo 5
Vamos substituir os limites e a função na integral. Nossa integral em polares fica:
Simplificando o integrando:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos integrar primeiro em relação a . A integral de em relação a é . Então:
Portanto, a integral agora é:
Passo 7
Vamos resolver a integral . Para isso, fazemos a substituição , então . A integral se torna: