Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. integral0^1 integral1-raiz1-x^2^1+raiz1-x^2 x y d y d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral dupla . Essa integral está em coordenadas cartesianas, mas a gente vai mudar para coordenadas polares para facilitar a resolução. Para isso, vamos precisar saber como transformar as funções e os limites das integrais de cartesianas para polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos variando de 0 a 1. Para cada , varia de até . Isso descreve uma região simétrica em relação ao eixo , centrada em . Essa região é, na verdade, um círculo de raio 1 com centro no ponto .

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, integralthetamin^thetamax integralrmin^rmax (r cos theta)(r sin theta) cdot r , dr , dtheta e . Também lembrando que o elemento de área se transforma em . Então, nossa integral vai se transformar em:

Passo 4

Precisamos determinar os novos limites de integração em coordenadas polares. Como a região é um círculo de raio 1 centrado em , podemos parametrizar isso em polares. O ângulo varia de a para cobrir toda a parte superior e inferior do círculo. O raio varia de 0 até (isso porque o raio máximo ocorre quando , e aí ).

Passo 5

Vamos substituir os limites e a função na integral. Nossa integral em polares fica:
integral-pi2^pi2 integral0^2 cos theta (r cos theta)(r sin theta) cdot r , dr , dtheta
Simplificando o integrando:
(r cos theta)(r sin theta) cdot r = r^3 cos theta sin theta
Então, a integral fica:
integral-pi2^pi2 integral0^2 cos theta r^3 cos theta sin theta , dr , dtheta

Passo 6

Vamos integrar primeiro em relação a integral0^2 cos theta r^3 , dr = [ r^44 ]0^2 cos theta = (2 cos theta)^44 - 0 = 16 cos^4 theta4 = 4 cos^4 theta . A integral de integral-pi2^pi2 4 cos^4 theta cdot cos theta sin theta , dtheta = 4 integral-pi2^pi2 cos^5 theta sin theta , dtheta em relação a é . Então:
Portanto, a integral agora é:

Passo 7

Vamos resolver a integral - integral u^5 , du = -u^66 + C = -cos^6 theta6 + C . Para isso, fazemos a substituição 4 [ -cos^6 theta6 ]-pi2^pi2 = -46 [ cos^6 ( pi2 ) - cos^6 ( -pi2 ) ] , então -46 (0 - 0) = 0 . A integral se torna:
Agora, aplicando os limites de a :
Sabemos que e , então:

Resposta

O valor final da integral é .

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