Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral dupla
. Essa integral está em coordenadas cartesianas, mas a gente vai mudar para coordenadas polares para facilitar a resolução. Para isso, vamos precisar saber como transformar as funções e os limites das integrais de cartesianas para polares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos
variando de 0 a 1. Para cada
,
varia de
até
. Isso descreve uma região simétrica em relação ao eixo
, centrada em
. Essa região é, na verdade, um círculo de raio 1 com centro no ponto
.
Passo 3
Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares,
e
. Também lembrando que o elemento de área
se transforma em
. Então, nossa integral vai se transformar em:
Passo 4
Precisamos determinar os novos limites de integração em coordenadas polares. Como a região é um círculo de raio 1 centrado em
, podemos parametrizar isso em polares. O ângulo
varia de
a
para cobrir toda a parte superior e inferior do círculo. O raio
varia de 0 até
(isso porque o raio máximo ocorre quando
, e aí
).
Passo 5
Vamos substituir os limites e a função na integral. Nossa integral em polares fica:
Simplificando o integrando:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos integrar primeiro em relação a
. A integral de
em relação a
é
. Então:
Portanto, a integral agora é:
Passo 7
Vamos resolver a integral
. Para isso, fazemos a substituição
, então
. A integral se torna:
Agora, aplicando os limites de
a
:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
O valor final da integral é
.