Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral dupla . Essa integral está em coordenadas cartesianas, mas a gente vai mudar para coordenadas polares para facilitar a resolução. Para isso, vamos precisar saber como transformar as funções e os limites das integrais de cartesianas para polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos variando de 0 a 1. Para cada , varia de até . Isso descreve uma região simétrica em relação ao eixo , centrada em . Essa região é, na verdade, um círculo de raio 1 com centro no ponto .

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, e . Também lembrando que o elemento de área se transforma em . Então, nossa integral vai se transformar em:

Passo 4

Precisamos determinar os novos limites de integração em coordenadas polares. Como a região é um círculo de raio 1 centrado em , podemos parametrizar isso em polares. O ângulo varia de a para cobrir toda a parte superior e inferior do círculo. O raio varia de 0 até (isso porque o raio máximo ocorre quando , e aí ).

Passo 5

Vamos substituir os limites e a função na integral. Nossa integral em polares fica:
Simplificando o integrando:
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos integrar primeiro em relação a . A integral de em relação a é . Então:
Portanto, a integral agora é:

Passo 7

Vamos resolver a integral . Para isso, fazemos a substituição , então . A integral se torna:
Agora, aplicando os limites de a :
Sabemos que e , então:

Resposta

O valor final da integral é .

Exercícios relacionados

Use coordenadas polares para expressar , onde é a região do segundo quadrante compreendida entre os círculos e , como integrais iteradas. Resolva a integral iterada.
Calcule as seguintes integrais iteradas: .
Faça um esboço do gráfico e determine a transformada de Laplace da função
a .
f .
b .
.
c .
.
d .
i) .
e .
j) .
Considere o seguinte PVI
Assinale a alternativa que corresponde à transformada de Laplace da solução do PVI.
a
e)
b
f
c
g

h